Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}} \geq \sum a$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyendanggiap1234

nguyendanggiap1234

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a^3+abc}{b+c}} \geq \sum a$



#2
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Xét trong ba số =0 thì bđt đúng

Xét cả ba số khác 0 

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}+abc}{b+c}}=\sum \left ( a^{3}+abc \right )\sqrt{\frac{1}{\left ( a^{2}+bc \right )\left ( ab+ac \right )}}\geq \sum \left ( 2a^{3}+2abc \right )\frac{1}{(a+b)(a+c)}$

Cần chứng minh : $\sum (2a^{3}+2abc)\left ( b+c \right )\geq (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum a^{3}(b+c)\geq 2\sum a^{2}b^{2}$

$\Leftrightarrow \sum ab\left ( a^{2}+b^{2} \right )\geq 2\sum a^{2}b^{2}$

BĐT này đúng theo cauchy

Dấu bằng xảy ra khi 1 số =0 , hai số còn lại bằng nhau hoặc cả ba số bằng nhau






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh