Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $KP$ đi qua điểm cố định.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ cố định có 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Cho $BC$ cố định. $M$ là trung điểm $BC$. Kéo dài $HM$ cắt $O$ tại $P$. $AD$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $KP$ đi qua điểm cố định.



#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

BLf1DsI.png

Kẻ đường kính $AJ$ với $(O)$. Gọi $I$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$, $K'$ là giao điểm thứ hai của $IP$ với $(O)$.Ta dễ dàng chứng minh được:

a) $I$ cố định.

b) $P, H, M, J$ thẳng hàng.

c) $\angle KPM=\angle KOM$ $(=\angle KAJ)$, suy ra tứ giác $POMK$ nội tiếp.

d) $IK'\cdot IP=IM\cdot IO$ $(=IB^2)$ nên tứ giác $POMK'$ nội tiếp.

Tứ giác $POMK$ và $POMK'$ nội tiếp đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup POM$ cắt $(O)$ tại $K$ và $K'$, suy ra $K\equiv K'$, vì vậy $P, K, I$ thẳng hàng hay $PK$ đi qua $I$ cố định. Ta có đpcm.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

 

BLf1DsI.png

Kẻ đường kính $AJ$ với $(O)$. Gọi $I$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$, $K'$ là giao điểm thứ hai của $IP$ với $(O)$.Ta dễ dàng chứng minh được:

a) $I$ cố định.

b) $P, H, M, J$ thẳng hàng.

c) $\angle KPM=\angle KOM$ $(=\angle KAJ)$, suy ra tứ giác $POMK$ nội tiếp.

d) $IK'\cdot IP=IM\cdot IO$ $(=IB^2)$ nên tứ giác $POMK'$ nội tiếp.

Tứ giác $POMK$ và $POMK'$ nội tiếp đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup POM$ cắt $(O)$ tại $K$ và $K'$, suy ra $K\equiv K'$, vì vậy $P, K, I$ thẳng hàng hay $PK$ đi qua $I$ cố định. Ta có đpcm.

 

Làm sao bạn dự đoán được $KP$ đi qua điểm cố định $I$ vậy



#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Làm sao bạn dự đoán được $KP$ đi qua điểm cố định $I$ vậy

Với sự hỗ trợ của GeoGebra thì việc dự đoán này thật ra không khó đâu truongphat266 ạ! 

 

Mà đầu bài của bạn phát biểu chưa rõ ràng lắm. Chỗ "Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định" làm mình nghĩ cả cái tam giác $ABC$ này cũng cố định. Sau lại thêm chỗ "$BC$ cố định" làm mình rối hơn nữa. 

 

Có lẽ nên phát biểu lại như thế này thì tốt hơn: 

 

Cho đường tròn $(O)$ và một dây cung $BC$ cố định. $A$ là điểm thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ ($A$ khác $B, C$). Ba đường cao  $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Đường thẳng $AD$ và đường thẳng $HM$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ và $P$. Chứng minh đường thẳng $KP$ luôn đi qua một điểm cố định. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 14-05-2023 - 17:00

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#5
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Với sự hỗ trợ của GeoGebra thì việc dự đoán này thật ra không khó đâu truongphat266 ạ! 

 

Mà đầu bài của bạn phát biểu chưa rõ ràng lắm. Chỗ "Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định" làm mình nghĩ cả cái tam giác $ABC$ này cũng cố định. Sau lại thêm chỗ "$BC$ cố định" làm mình rối hơn nữa. 

 

Có lẽ nên phát biểu lại như thế này thì tốt hơn: 

 

Cho đường tròn $(O)$ và một dây cung $BC$ cố định. $A$ là điểm thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ ($A$ khác $B, C$). Ba đường cao  $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Đường thẳng $AD$ và đường thẳng $HM$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ và $P$. Chứng minh đường thẳng $KP$ luôn đi qua một điểm cố định. 

Không ạ, ý em là trong phòng thi làm sao có thể biết đường thẳng trên đi qua điểm cố định nào



#6
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Không ạ, ý em là trong phòng thi làm sao có thể biết đường thẳng trên đi qua điểm cố định nào

 

Trong phòng thi thì khó.

Nói chung giai đoạn đầu tiên vẫn phải vẽ một số trường hợp cụ thể rồi từ sự quan sát đó ta mới đưa ra dự đoán được. 

Việc dự đoán được như thế anh nghĩ nhiều khi do trực giác và kinh nghiệm thôi, chứ không có phương pháp đặc biệt nào cả. 

Ngoài ra, trong bài trên ta có thể định hướng rằng cái điểm cố định đó chắc chắn phải tuỳ thuộc vào đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ vì đây là hai yếu tố cố định duy nhất mà giả thiết cho. Từ đó mà ta thử tạo ra các đường và điểm mới liên quan chẳng hạn như tiếp tuyến tại $B,C$ hay đường trung trực của đoạn $BC$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 14-05-2023 - 18:26

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Với dạng bài đi qua điểm cố định thì chỉ cần vẽ ít nhất hai trường hợp rồi tìm giao điểm là xong.

Bạn có trường hợp ban đầu tự vẽ ra, trường hợp thứ hai có thể dùng "đối xứng": lấy $A'$ đối xứng $A$ qua trung trực $BC$, rồi làm y hệt các bước.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh