Bài 1: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\sum \frac{a}{b}-2}+\frac{8abc}{\prod (a+b)}\geq 2$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a(a+c)}{b(b+c)}\geq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum ab}$
Bài 4: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{a+\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\geq 3\sqrt{\sqrt{2}+1}$
-Em góp một số bài ạ. Mong mọi người post solve và tương tác trên topic này nhé!!
Bài 4:
Bình phương hai vế ta được bất đẳng thức cần CM như sau:
$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}+2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})} \geq 9\sqrt{2}+6$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:
$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq 2\sum \sqrt{\left(a+\frac{b+c}{\sqrt{2}}\right)\left(b+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\right)}$
$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum \sqrt{((\sqrt{2}-1)a+3)((\sqrt{2}-1)b+3)}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:
$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum ((\sqrt{2}-1)\sqrt{ab}+3)$
hay $2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq(2-\sqrt{2})\sum \sqrt{ab}+9\sqrt{2}$
Xét với $x,y\geq 0$ và ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:
$\sqrt{x^{4}+y^{4}}+(2-\sqrt{2})xy\geq x^{2}+y^{2}$
Xét hiệu:
$\sqrt{2}LHS-RHS$=$(x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)$
$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)\geq (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{(\sqrt{2}+1)(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{2}+1\right)= \frac{(\sqrt{2}-1)xy(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 0$
Với a,b,c ta sẽ chứng minh tương tự
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhisthenumber1: 04-04-2023 - 21:51
LaTeX