Đến nội dung

Hình ảnh

TOPIC BẤT ĐẲNG THỨC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nguyendanggiap1234

nguyendanggiap1234

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\sum \frac{a}{b}-2}+\frac{8abc}{\prod (a+b)}\geq 2$

Bài 3: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a(a+c)}{b(b+c)}\geq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum ab}$

Bài 4: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a+\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\geq 3\sqrt{\sqrt{2}+1}$

-Em góp một số bài ạ. Mong mọi người post solve và tương tác trên topic này nhé!! :ukliam2:  :ukliam2:



#2
thinhisthenumber1

thinhisthenumber1

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Em xin góp sol bài số 3 ạ.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\left( {\sum ab(b+c)(a+c)} \right) \left({\sum \frac{a(a+c)}{b(b+c)}}\right)\geq \left(\sum a^{2}+\sum ab\right)^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

$\left(\sum a^{2}+\sum ab\right)^{2}\geq 4(\sum a^{2})(\sum ab)$

Vậy ta chỉ cần chứng minh 

$4\left(\sum a^{2}\right)\left(\sum ab\right)^{2}\geq 3\left(\sum a^{2}\right)\left({\sum ab(b+c)(a+c)}\right)$

$\Leftrightarrow (\sum ab)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

với việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì bất đẳng thức trên luôn đúng $\Rightarrow$ đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2023 - 15:01
LaTeX


#3
thinhisthenumber1

thinhisthenumber1

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{5-abc}+\frac{1}{5-bcd}+\frac{1}{5-cda}+\frac{1}{5-dab}\leq 1$

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\sum \frac{a}{b}-2}+\frac{8abc}{\prod (a+b)}\geq 2$

Bài 3: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a(a+c)}{b(b+c)}\geq \frac{3(\sum a^{2})}{\sum ab}$

Bài 4: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a+\sqrt{b^{2}+c^{2}}}\geq 3\sqrt{\sqrt{2}+1}$

-Em góp một số bài ạ. Mong mọi người post solve và tương tác trên topic này nhé!! :ukliam2:  :ukliam2:

Bài 4:

Bình phương hai vế ta được bất đẳng thức cần CM như sau:

$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}+2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})} \geq 9\sqrt{2}+6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq 2\sum \sqrt{\left(a+\frac{b+c}{\sqrt{2}}\right)\left(b+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\right)}$

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum \sqrt{((\sqrt{2}-1)a+3)((\sqrt{2}-1)b+3)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum ((\sqrt{2}-1)\sqrt{ab}+3)$

hay $2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq(2-\sqrt{2})\sum \sqrt{ab}+9\sqrt{2}$

Xét với $x,y\geq 0$ và ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:

$\sqrt{x^{4}+y^{4}}+(2-\sqrt{2})xy\geq x^{2}+y^{2}$

Xét hiệu:

$\sqrt{2}LHS-RHS$=$(x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)$

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)\geq (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{(\sqrt{2}+1)(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{2}+1\right)= \frac{(\sqrt{2}-1)xy(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 0$

Với a,b,c ta sẽ chứng minh tương tự

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ $a=b=c=1$ :luoi:  :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhisthenumber1: 04-04-2023 - 21:51
LaTeX


#4
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Bài 4:

Bình phương hai vế ta được bất đẳng thức cần CM như sau:

$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}+2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})} \geq 9\sqrt{2}+6$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq 2\sum \sqrt{\left(a+\frac{b+c}{\sqrt{2}}\right)\left(b+\frac{a+c}{\sqrt{2}}\right)}$

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum \sqrt{((\sqrt{2}-1)a+3)((\sqrt{2}-1)b+3)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

$2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq\sqrt{2}\sum ((\sqrt{2}-1)\sqrt{ab}+3)$

hay $2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq(2-\sqrt{2})\sum \sqrt{ab}+9\sqrt{2}$

Xét với $x,y\geq 0$ và ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:

$\sqrt{x^{4}+y^{4}}+(2-\sqrt{2})xy\geq x^{2}+y^{2}$

Xét hiệu:

$\sqrt{2}LHS-RHS$=$(x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)$

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+x^{2}+y^{2}}-\sqrt{2}+1\right)\geq (x-y)^{2}\left(\frac{(x+y)^{2}}{(\sqrt{2}+1)(x^{2}+y^{2})}-\sqrt{2}+1\right)= \frac{(\sqrt{2}-1)xy(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 0$

Với a,b,c ta sẽ chứng minh tương tự

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ $a=b=c=1$ :luoi:  :luoi:

khúc cuối bị ngược dấu rồi bạn $\sqrt{2(x^4+y^4)}\geq x^2+y^2$



#5
thinhisthenumber1

thinhisthenumber1

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

khúc cuối bị ngược dấu rồi bạn $\sqrt{2(x^4+y^4)}\geq x^2+y^2$

Từ bước: $2\sum \sqrt{(a+\sqrt{b^{2}+c^{2}})(b+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}\geq (2-\sqrt{2})\sum\sqrt{ab}+9\sqrt{2}$

Sau đó thì ta đặt $x^2=a y^2=b$ với các cặp $(b,c ); (c,a)$ ta thay vào thì ta được

$=>$$\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sum (2-\sqrt{2})\sqrt{ab}\geq 2\sum a+9\sqrt{2}=6+9\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhisthenumber1: 06-04-2023 - 10:43





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh