Bài này xuất hiện trên AoPS nhưng hệ số 2 nằm ở vị trí khác, bạn tham khảo thử xem
ĐỀ: $\sum_{a,b,c}^{}(\frac{a}{a+2b})^3\geq \frac{1}{9}$
$VT=\sum_{a,b,c}^{}(\frac{1}{1+\frac{2b}{a}})^3$
Đổi biến: $(\frac{2b}{a};\frac{2c}{b};\frac{2a}{c})=(\frac{2yz}{x^2};\frac{2zx}{y^2};\frac{2xy}{z^2})$
$\Rightarrow VT=\sum_{x,y,z}^{}\frac{x^6}{(x^2+2yz)^3}\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\sum_{x,y,z}^{}(x^2+2yz)^3}\geq \frac{1}{9}$
ĐPCM$\Leftrightarrow 8\sum_{x,y,z}^{}x^6+10\sum_{x,y,z}^{}a^3b^3\geq 6xyz\sum_{x,y,z}^{}x^3+36(xyz)^2$
Theo AM-GM:
$2(x^6+x^3y^3+z^3x^3)\geq 6x^4yz$
Tương tự cộng lại ta có ĐPCM.
Nguồn:AoPS