Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-09-2020 - 13:55
Chỉnh sửa tiêu đề, Latex
Đã gửi 02-09-2020 - 17:27
Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-09-2020 - 13:55
Chỉnh sửa tiêu đề, Latex
Đã gửi 08-09-2020 - 14:16
Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$
Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.
Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$
$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$
$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right) \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$
Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$
Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$
Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$
Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/
Github: https://github.com/tthnew
Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages
Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/
Tài liệu pqr: https://diendantoanh...hương-pháp-pqr/
Đã gửi 08-09-2020 - 15:27
Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.
Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$
$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$
$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right) \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$
Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$
Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$
Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$
Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi
Theo anh có còn cách khác ko ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 08-09-2020 - 15:30
Đã gửi 08-09-2020 - 20:52
Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi
Theo anh có còn cách khác ko ạ?
cách khác nè đặt t=x+y =>xy=3-t (1) mặt khác theo bđt bunhiacopski ta có dễ c/m$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}=\frac{t^{4}}{8}$
lại có $\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy \geq \frac{t^{4}}{8} +t^{2}+8(3-t)=\frac{(t-2)^{2}.(t^{2}+4t+20)+112}{8}\geq 14$
= tại t=2 kết hợp với (1) dấu bằng tại x=y=1
${\color{white}{\text{sống hoặc bị sống}}}$
Ctrl+A để xem chữ kí
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh