Chủ đề này có 3 trả lời

[reever12333]

Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-09-2020 - 13:55
Chỉnh sửa tiêu đề, Latex

[tthnew]

Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$

 

Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.

Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$

 

$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$

 

$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right)  \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$

 

Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$

 

Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$

 

Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$

[DBS]

Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.

Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$

 

$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$

 

$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right)  \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$

 

Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$

 

Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$

 

Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$

Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi

Theo anh có còn cách khác ko ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 08-09-2020 - 15:30

[phan duy quang lh]

Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi

Theo anh có còn cách khác ko ạ?

 cách khác nè đặt t=x+y =>xy=3-t (1) mặt khác theo bđt bunhiacopski ta có dễ c/m$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}=\frac{t^{4}}{8}$

lại có $\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy \geq \frac{t^{4}}{8} +t^{2}+8(3-t)=\frac{(t-2)^{2}.(t^{2}+4t+20)+112}{8}\geq 14$

= tại t=2 kết hợp với (1) dấu bằng tại x=y=1