Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTNN của $x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$

bdt daiso cuctri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 reever12333

reever12333

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 02-09-2020 - 17:27

Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 08-09-2020 - 13:55
Chỉnh sửa tiêu đề, Latex


#2 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-09-2020 - 14:16

Cho $x,y \in \mathbb{R} ;x+y+xy=3$
Tìm GTNN của $$\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy$$

 

Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.

Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$

 

$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$

 

$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right)  \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$

 

Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$

 

Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$

 

Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$



#3 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Toán, Tiếng Anh
    Không chơi game

Đã gửi 08-09-2020 - 15:27

Cách này hơi trâu nhưng nó là dễ nhất.

Từ giả thiết$,$ rút $y=\dfrac{3-x}{x+1}$ thay vào $\text{A}$ ta được$:$

 

$$\text{A} ={x}^{2} \left( {x}^{2}+1 \right) + \dfrac{\left( 3-x \right) ^{2} \left( { \dfrac { \left( 3-x \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{2}}}+1 \right)}{(x+1)^2}+10\,{\dfrac {x \left( 3-x \right) }{x+1}}$$

 

$$={\frac { \left( {x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \right)  \left( x-1 \right) ^{2}}{ \left( x+1 \right) ^{4}}} +14$$

 

Ta sẽ chứng minh$:$ $${x}^{6}+6\,{x}^{5}+18\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+33\,{x}^{2} +30\,x+76 \geqslant 0.$$

 

Nhưng điều này là hiển nhiên vì $$\text{VT}= \left( {x}^{3}+3\,{x}^{2}+x+1 \right) ^{2}+\dfrac{1}{7}{x}^{2} \left( 7\,x+10 \right) ^{2}+{\dfrac {2}{287}}\, \left( 41\,x+49 \right) ^{2} +{\dfrac {2389}{41}}>0.$$

 

Do đó $$\text{A}\geqslant 14.$$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1.$

Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi :D

Theo anh có còn cách khác ko ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 08-09-2020 - 15:30


#4 phan duy quang lh

phan duy quang lh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà tĩnh
  • Sở thích:toán học
    anime
    "truyện tranh" =.=

Đã gửi 08-09-2020 - 20:52

Với lại theo mình nghĩ cách này cần có kỹ năng SOS nữa, nói hơi trâu là đúng rồi :D

Theo anh có còn cách khác ko ạ?

 cách khác nè đặt t=x+y =>xy=3-t (1) mặt khác theo bđt bunhiacopski ta có dễ c/m$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}=\frac{t^{4}}{8}$

lại có $\text{A} = x^2 (x^2+1) +y^2(y^2+1) +10xy \geq \frac{t^{4}}{8} +t^{2}+8(3-t)=\frac{(t-2)^{2}.(t^{2}+4t+20)+112}{8}\geq 14$

= tại t=2 kết hợp với (1) dấu bằng tại x=y=1


${\color{white}{\text{sống hoặc bị sống}}}$

Ctrl+A để xem chữ kí  :)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh