Chủ đề này có 8 trả lời

[Nobodyv3]

Tìm hàm sinh của các dãy sau :
$a)\; 2,4,1,1,1,1,...$
$b)\; 3,1,3,1,3,1,...$
$c)\;1,2,3,4,...$
$d)\; 0,0,0,0,0,0,0,3,1,3,1,3,1,...$
$e)\;a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=n^2+n$ với $n\in \mathbb{N}$
$f) \; a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=3n^2+7n+1$ với $n\in \mathbb{N}$
$g)\; a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=3^{n+1}+2n+\binom {3}{n}+4\binom {-5}{n}$
$h)\; 0,0,0,0,3,-2,3,-2,3,-2,...$
$i)\;2,-3,1,1,1,1,...$
$j)\; 1,\pi,3,4,5,6,7,...$
$k)\; 1,1,1,0,1,1,1,...$
$l)\; 0,0,0,1,0,\frac {1}{3},0,\frac {1}{5},0,\frac {1}{7},0,...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 05-04-2023 - 22:16

[Nobodyv3]

a) Từ dãy $1,1,1,1,...$có hàm sinh là $\frac {1}{1-x}$ nên dãy đã cho có hàm sinh là $1+3x+\frac {1}{1-x}.$
b) Từ dãy $2,0,2,0,2,0,...$có hàm sinh là $\frac {2}{1-x^2}$ nên dãy đã cho có hàm sinh là $\frac {1}{1-x}+\frac {2}{1-x^2}.$
c) Ta có : $\frac {1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...$
$\left(\frac {1}{1-x}\right) '=1+2x+3x^2+4x^3+...$
nên dãy đã cho có hàm sinh là $\frac {1}{(1-x)^2}$
d) Từ câu b) suy ra hàm sinh cho dãy đã cho là $\frac {x^7}{1-x}+\frac {2x^7}{1-x^2}.$
Mời các bạn tham gia cho vui...

[chanhquocnghiem]

Tìm hàm sinh của các dãy sau :
$a)\; 2,4,1,1,1,1,...$
$b)\; 3,1,3,1,3,1,...$
$c)\;1,2,3,4,...$
$d)\; 0,0,0,0,0,0,0,3,1,3,1,3,1,...$
$e)\;a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=n^2+n$ với $n\in \mathbb{N}$
$f) \; a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=3n^2+7n+1$ với $n\in \mathbb{N}$
$g)\; a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=3^{n+1}+2n+\binom {3}{n}+4\binom {-5}{n}$
$h)\; 0,0,0,0,3,-2,3,-2,3,-2,...$
$i)\;2,-3,1,1,1,1,...$
$j)\; 1,\pi,3,4,5,6,7,...$
$k)\; 1,1,1,0,1,1,1,...$
$l)\; 0,0,0,1,0,\frac {1}{3},0,\frac {1}{5},0,\frac {1}{7},0,...$

e) Ta có $x+2x^2+3x^3+4x^4+...=\frac{x}{(1-x)^2}$

    $\Rightarrow 1+4x+9x^2+16x^3+...=\left ( \frac{x}{(1-x)^2} \right )'=\frac{1+x}{(1-x)^3}$

    $\Rightarrow x+4x^2+9x^3+16x^4+...=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$.

    Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{2x}{(1-x)^3}$.

f) Ta có $3(x+4x^2+9x^3+16x^4+...)=\frac{3x(1+x)}{(1-x)^3}$

    $7(x+2x^2+3x^3+4x^4+...)=\frac{7x}{(1-x)^2}$

    Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{3x(x+1)}{(1-x)^3}+\frac{7x}{(1-x)^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{-3x^2+8x+1}{(1-x)^3}$
 

[chanhquocnghiem]

Tìm hàm sinh của dãy sau :
$g)\; a_0,a_1,a_2,a_3,...$trong đó $a_n=3^{n+1}+2n+\binom {3}{n}+4\binom {-5}{n}$

$3+9x+27x^2+81x^3+...=\frac{3+6x+18x^2+54x^3+...}{1-x}$

 $=\frac{1+\frac{2}{1-3x}}{1-x}=\frac{3}{1-3x}$

Và $2(x+2x^2+3x^3+...)=\frac{2x}{(1-x)^2}$

$\binom{-5}{n}=\binom{n+4}{n}=\binom{n+4}{4}=\frac{n^4}{24}+\frac{5n^3}{12}+\frac{35n^2}{24}+\frac{25n}{12}+1$

Mà $x+4x^2+9x^3+16x^4+...=\frac{x^2+x}{(1-x)^3}$

$\Rightarrow 1+8x+27x^2+64x^3+...=\frac{x^2+4x+1}{(1-x)^4}$

$\Rightarrow x+8x^2+27x^3+64x^4+...=\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x)^4}$

$\Rightarrow x+16x^2+81x^3+256x^4+...=\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{(x-1)^5}$

Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{3}{1-3x}+\frac{2x}{(1-x)^2}+1+3x+3x^2+x^3+$

$+\frac{x^4+11x^3+11x^2+x}{24(x-1)^5}+\frac{5(x^3+4x^2+x)}{12(1-x)^4}+\frac{35(x^2+x)}{24(1-x)^3}+\frac{25x}{12(1-x)^2}+\frac{1}{1-x}$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 09-04-2023 - 13:22

[chanhquocnghiem]

Tìm hàm sinh của các dãy sau :
$h)\; 0,0,0,0,3,-2,3,-2,3,-2,...$
$i)\;2,-3,1,1,1,1,...$
$j)\; 1,\pi,3,4,5,6,7,...$
$k)\; 1,1,1,0,1,1,1,...$
$l)\; 0,0,0,1,0,\frac {1}{3},0,\frac {1}{5},0,\frac {1}{7},0,...$

h) $f(x)=\frac{3x^4-2x^5}{1-x^2}$

i)  $f(x)=1-4x+\frac{1}{1-x}$

j)  $f(x)=(\pi-2)x+\frac{1}{(1-x)^2}$

k) $f(x)=\frac{1}{1-x}-x^3$

l)  Ta có :

   $\ln\left ( 1+x \right )=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$

   $\ln\left ( 1-x \right )=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-...$

   $\Rightarrow \ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right )=2\left ( x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+... \right )$

   Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{x^2}{2}\ln\left ( \frac{1+x}{1-x} \right )$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 09-04-2023 - 13:32

[Nobodyv3]

g) còn $4\binom {-5}{n}$ chưa giải quyết hả anh ?
k) Em nghĩ là $\frac {1}{1-x}-x^3$
Thank you so much.

[chanhquocnghiem]

g) còn $4\binom {-5}{n}$ chưa giải quyết hả anh ?
k) Em nghĩ là $\frac {1}{1-x}-x^3$
Thank you so much.

g) $\binom{-5}{0}=\binom{-5}{1}=\binom{-5}{2}=\binom{-5}{3}=...=0$ ?

    (Mình đọc trên Wiki thấy nói rằng $\binom{n}{k}=0$ nếu $k> n$, đúng không nhỉ ?)

k) Bài này do mình hiểu sai đề (mình tưởng có sự tuần hoàn $a_3=a_7=a_{11}=...=0$). Nếu bạn cho thêm $a_7=1$ thì sẽ tránh được sự hiểu nhầm
 

[Nobodyv3]

g) $\binom{-5}{0}=\binom{-5}{1}=\binom{-5}{2}=\binom{-5}{3}=...=0$ ?
(Mình đọc trên Wiki thấy nói rằng $\binom{n}{k}=0$ nếu $k> n$, đúng không nhỉ ?)
k) Bài này do mình hiểu sai đề (mình tưởng có sự tuần hoàn $a_3=a_7=a_{11}=...=0$). Nếu bạn cho thêm $a_7=1$ thì sẽ tránh được sự hiểu nhầm

g) Em thấy ( áp dụng Newton's generalization of the binomial theorem): $\frac {1}{(1-x)^5}=\sum \binom {-5}{n}x^n= \sum \binom {n+4}{n}x^n$
k) Sorry anh.( chữ số 0 chỉ xuất hiện 1 lần, theo em, để hiểu là có chu kỳ thì chữ số 0 phải xuất hiện ít nhất 2 lần...vì trên 2 lần mới thấy nó lặp lại)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 09-04-2023 - 06:50

[chanhquocnghiem]

g) Em thấy ( áp dụng Newton's generalization of the binomial theorem): $\frac {1}{(1-x)^5}=\sum \binom {-5}{n}x^n= \sum \binom {n+4}{n}x^n$
k) Sorry anh.( chữ số 0 chỉ xuất hiện 1 lần, theo em, để hiểu là có chu kỳ thì chữ số 0 phải xuất hiện ít nhất 2 lần...vì trên 2 lần mới thấy nó lặp lại)

Bài $g$ mình đã sửa lại ở trên.

Còn bài $k$, nếu dãy chỉ có một số hạng bằng $0$ thì quá đơn giản (cũng đã sửa lại ở trên)