Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh điểm đối xứng với $N$ qua $BC$ nằm trên $(DNE)$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$. Tia phân giác góc $A$ cắt $BC$ và cung $BC$ không chứa $A$ lần lượt tại $D$ và $N$. Kẻ đường kính $MN$ với $(O)$. Gọi $X$ là giao điểm của $BM$ và $AN$, $E$ là giao điểm của $(ABD)$ và $(XBN)$. Chứng minh điểm đối xứng với $N$ qua $BC$ nằm trên $(DNE)$.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Dang-Ddth-Thang4Ngay9-1 (1).jpeg

Lời giải. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC.

Bước 1: Chứng minh $MAN$, $MBN$, $XEN$ là các góc vuông.

Vì MN là đường kính của đường tròn (O) nên $\angle MAN=\angle MBN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vì $\angle XBN=90^{\circ}$ suy ra B thuộc đường tròn đường kính XN (quỹ tích cung chứa góc). Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN nên $\angle XEN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Bước 2: Chứng minh $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác XENB có $\angle EXD=\angle EBN$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN). Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEBD có $\angle EDX= \angle EBA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA).

Do đó $\angle XED=180^{\circ}-(\angle EXD+\angle EDX)=180^{\circ}-(\angle EBN+\angle EBA)=180^{\circ}-\angle ABN$.

Bước 3: Chứng minh F, M, N thẳng hàng.

Vì AN là tia phân giác của góc BAC nên $NB=NC$. Ta lại có $OB=OC$ nên ON là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Do đó MN vuông góc BC. Vì F đối xứng với N qua BC nên ta cũng có FN vuông góc BC. Vậy F, M, N thẳng hàng.

Bước 4: Chứng minh $\angle DEN=\angle DNF$

Tứ giác ABNM nội tiếp nên $\angle AMN=180^{\circ}-\angle ABN$. Mà $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$ (cmt) nên $\angle XED=\angle AMN$.

Vì $\angle MAN=90^{\circ}$, nên tam giác AMN vuông tại A. Do đó $\angle DNM=90^{\circ}-\angle AMN$. Hơn nữa, vì F, M, N thẳng hàng (cmt) nên $\angle DNF=\angle DNM$. Do đó $\angle DNF=90^{\circ}-\angle AMN$. Vì $\angle XEN=90^{\circ}$ (cmt) nên $\angle DEN=90^{\circ}-\angle XED$. Mà $\angle XED=\angle AMN$ nên $\angle DNF=\angle DEN$.

Bước 5: Chứng minh DFEN là tứ giác nội tiếp

Vì F đối xứng với N qua BC nên tam giác FDN cân tại D. Do đó $\angle DFN=\angle DNF$. Mà $\angle DNF=\angle DEN$ (cmt) nên $\angle DFN=\angle DEN$. 

Hai điểm E, F thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ DN và $\angle DFN=\angle DEN$ nên DFEN là tứ giác nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc).

Vậy điểm đối xứng của N qua BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác DNE (đpcm).

 

Bài toán mở rộng: 

1) Gọi Y là giao điểm của AC và MN. Chứng minh Y thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN.

2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh I, B, M thẳng hàng. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-04-2023 - 04:57

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Một bài làm trình bày rất chi tiết  :D. Em xin được trình bày một lời giải khác.

Gọi giao điểm của $AO$ với $(ABD)$ và $(O)$ lần lượt là $P$ và $K$. Cần chứng minh $E, P, N$ thẳng hàng. Thật vậy, khi $E, P, N$ thẳng hàng thì $\angle DEN\equiv\angle DEP=\angle DAP\equiv\angle OAN=\angle ONA\equiv DNF=\angle DFN$, suy ra tứ giác $DFEN$ nội tiếp hay $(DNE)$ đi qua điểm đối xứng của $N$ qua $BC$.

Ta có:

$\begin{align*}\angle BEP=\angle BAP\equiv \angle BAK=90^{\circ}-\angle AKB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\end{align*}$

$\begin{align*}\angle BEN=\angle BXN=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{BN}\right)=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-\text{sđ}\stackrel\frown{MN}-\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\end{align*}$

(các cung xét ở trên đều thuộc $(O)$)

Suy ra $\angle BEP=\angle BEN$ hay $E, P, N$ thẳng hàng.

Vậy ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-04-09 064806.png

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài toán mở rộng: 

1) Gọi Y là giao điểm của AC và MN. Chứng minh Y thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN.

2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh I, B, M thẳng hàng. 

1) Ta có $\angle BXN=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{BN}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{NC}\right)=\angle NYC=\angle NYB$ (do $B, C$ đối xứng với nhau qua $YN\equiv MN$), suy ra tứ giác $BXYN$ nội tiếp hay $Y$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup XBN$.

2) Gọi $Q$ là giao điểm của $BM$ với $(ABD)$.

Ta có $\angle XDQ\equiv\angle ADQ=\angle ABQ\equiv\angle ABM=\angle ANM\equiv \angle XNM$, suy ra $DQ\parallel MN$. Mà $MN\perp BC$ nên $DQ\perp BC$, do đó $\angle QDB=90^{\circ}$, $QB$ là đường kính của $(ABD)$, từ đây suy ra được $I, B, M$ thẳng hàng.

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-04-09 074318.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 07:43

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Đọc một lời giải khác cảm giác  rất thú vị ^^!

 

Mình cũng có một cách khác để chứng minh I, B, M thẳng hàng không cần vẽ thêm điểm Q:  

 

Tam giác ABI cân tại I nên $\angle ABI=90^{\circ}-\frac{\angle AIB}{2}=90^{\circ}-\angle ADB$.

 

Ta có $\angle ABM=\angle ANM$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Mà $\angle ANM=90^{\circ}-\angle CDN$ (vì MN vuông góc BC). Do đó  $\angle ABM=90^{\circ}-\angle CDN$ . Ta lại có $\angle CDN=\angle ADB$ (hai góc đối đỉnh) do đó  $\angle ABM=90^{\circ}-\angle ADB$ . 

 

Do đó $\angle ABI=\angle ABM$. Vậy B, I, M thẳng hàng. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#6
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán mở rộng:

3) Với Y là giao điểm MN và AC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, gọi giao điểm của DI và AM là Z. Chứng minh Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ba điểm Z, Y, E thẳng hàng. 

(Đây là một dự đoán mình thấy nhờ dùng Geobra, còn chưa chứng minh được!) 

 

Hình gửi kèm

  • Dang-Ddth-Thang4Ngay9-(2).jpg

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#7
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài toán mở rộng:

3) Với Y là giao điểm MN và AC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, gọi giao điểm của DI và AM là Z. Chứng minh Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ba điểm Z, Y, E thẳng hàng. 

Ý đầu có vẻ dễ chứng minh rồi nhỉ.

Ta có

$\begin{align*}\angle YED&=\angle YEX+\angle XED=\angle YNX+\angle XED=\angle FND+\angle XED=\angle DFN+\angle XED\\&=\angle DEN+\angle XED=\angle XEN=90^{\circ},\end{align*}$

Do đó $DE\perp EY$. Mặt khác $DE\perp EZ$ (dễ dàng suy ra từ kết quả của ý trước) nên $Z, Y, E$ thẳng hàng.

P/s: Nếu ngay từ đầu chứng minh luôn Z, Y, E thẳng hàng, không chứng minh ý mở rộng 1 từ đầu thì bài toán có vẻ sẽ thú vị hơn  :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 16:35

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#8
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Nếu ngay từ đầu chứng minh luôn Z, Y, E thẳng hàng, không chứng minh ý mở rộng 1 từ đầu thì bài toán có vẻ sẽ thú vị hơn  :luoi:

 Tại cũng không nhìn ra tính chất ấy ngay từ đầu đó ^^! 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh