Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$. Tia phân giác góc $A$ cắt $BC$ và cung $BC$ không chứa $A$ lần lượt tại $D$ và $N$. Kẻ đường kính $MN$ với $(O)$. Gọi $X$ là giao điểm của $BM$ và $AN$, $E$ là giao điểm của $(ABD)$ và $(XBN)$. Chứng minh điểm đối xứng với $N$ qua $BC$ nằm trên $(DNE)$.
#1
Đã gửi 06-04-2023 - 01:28
- HaiDangPham yêu thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#2
Đã gửi 09-04-2023 - 03:54
Lời giải. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC.
* Bước 1: Chứng minh $MAN$, $MBN$, $XEN$ là các góc vuông.
Vì MN là đường kính của đường tròn (O) nên $\angle MAN=\angle MBN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì $\angle XBN=90^{\circ}$ suy ra B thuộc đường tròn đường kính XN (quỹ tích cung chứa góc). Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN nên $\angle XEN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
* Bước 2: Chứng minh $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác XENB có $\angle EXD=\angle EBN$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN). Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEBD có $\angle EDX= \angle EBA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA).
Do đó $\angle XED=180^{\circ}-(\angle EXD+\angle EDX)=180^{\circ}-(\angle EBN+\angle EBA)=180^{\circ}-\angle ABN$.
* Bước 3: Chứng minh F, M, N thẳng hàng.
Vì AN là tia phân giác của góc BAC nên $NB=NC$. Ta lại có $OB=OC$ nên ON là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Do đó MN vuông góc BC. Vì F đối xứng với N qua BC nên ta cũng có FN vuông góc BC. Vậy F, M, N thẳng hàng.
* Bước 4: Chứng minh $\angle DEN=\angle DNF$
Tứ giác ABNM nội tiếp nên $\angle AMN=180^{\circ}-\angle ABN$. Mà $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$ (cmt) nên $\angle XED=\angle AMN$.
Vì $\angle MAN=90^{\circ}$, nên tam giác AMN vuông tại A. Do đó $\angle DNM=90^{\circ}-\angle AMN$. Hơn nữa, vì F, M, N thẳng hàng (cmt) nên $\angle DNF=\angle DNM$. Do đó $\angle DNF=90^{\circ}-\angle AMN$. Vì $\angle XEN=90^{\circ}$ (cmt) nên $\angle DEN=90^{\circ}-\angle XED$. Mà $\angle XED=\angle AMN$ nên $\angle DNF=\angle DEN$.
* Bước 5: Chứng minh DFEN là tứ giác nội tiếp
Vì F đối xứng với N qua BC nên tam giác FDN cân tại D. Do đó $\angle DFN=\angle DNF$. Mà $\angle DNF=\angle DEN$ (cmt) nên $\angle DFN=\angle DEN$.
Hai điểm E, F thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ DN và $\angle DFN=\angle DEN$ nên DFEN là tứ giác nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc).
Vậy điểm đối xứng của N qua BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác DNE (đpcm).
Bài toán mở rộng:
1) Gọi Y là giao điểm của AC và MN. Chứng minh Y thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN.
2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh I, B, M thẳng hàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-04-2023 - 04:57
- perfectstrong và Leonguyen thích
#3
Đã gửi 09-04-2023 - 06:48
Một bài làm trình bày rất chi tiết . Em xin được trình bày một lời giải khác.
Gọi giao điểm của $AO$ với $(ABD)$ và $(O)$ lần lượt là $P$ và $K$. Cần chứng minh $E, P, N$ thẳng hàng. Thật vậy, khi $E, P, N$ thẳng hàng thì $\angle DEN\equiv\angle DEP=\angle DAP\equiv\angle OAN=\angle ONA\equiv DNF=\angle DFN$, suy ra tứ giác $DFEN$ nội tiếp hay $(DNE)$ đi qua điểm đối xứng của $N$ qua $BC$.
Ta có:
$\begin{align*}\angle BEP=\angle BAP\equiv \angle BAK=90^{\circ}-\angle AKB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\end{align*}$
$\begin{align*}\angle BEN=\angle BXN=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{BN}\right)=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-\text{sđ}\stackrel\frown{MN}-\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel\frown{AB}\end{align*}$
(các cung xét ở trên đều thuộc $(O)$)
Suy ra $\angle BEP=\angle BEN$ hay $E, P, N$ thẳng hàng.
Vậy ta có đpcm.
- perfectstrong yêu thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#4
Đã gửi 09-04-2023 - 07:32
Bài toán mở rộng:
1) Gọi Y là giao điểm của AC và MN. Chứng minh Y thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN.
2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh I, B, M thẳng hàng.
1) Ta có $\angle BXN=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{BN}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{AM}+\text{sđ}\stackrel\frown{NC}\right)=\angle NYC=\angle NYB$ (do $B, C$ đối xứng với nhau qua $YN\equiv MN$), suy ra tứ giác $BXYN$ nội tiếp hay $Y$ thuộc đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup XBN$.
2) Gọi $Q$ là giao điểm của $BM$ với $(ABD)$.
Ta có $\angle XDQ\equiv\angle ADQ=\angle ABQ\equiv\angle ABM=\angle ANM\equiv \angle XNM$, suy ra $DQ\parallel MN$. Mà $MN\perp BC$ nên $DQ\perp BC$, do đó $\angle QDB=90^{\circ}$, $QB$ là đường kính của $(ABD)$, từ đây suy ra được $I, B, M$ thẳng hàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 07:43
- perfectstrong và HaiDangPham thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#5
Đã gửi 09-04-2023 - 12:51
Đọc một lời giải khác cảm giác rất thú vị ^^!
Mình cũng có một cách khác để chứng minh I, B, M thẳng hàng không cần vẽ thêm điểm Q:
Tam giác ABI cân tại I nên $\angle ABI=90^{\circ}-\frac{\angle AIB}{2}=90^{\circ}-\angle ADB$.
Ta có $\angle ABM=\angle ANM$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Mà $\angle ANM=90^{\circ}-\angle CDN$ (vì MN vuông góc BC). Do đó $\angle ABM=90^{\circ}-\angle CDN$ . Ta lại có $\angle CDN=\angle ADB$ (hai góc đối đỉnh) do đó $\angle ABM=90^{\circ}-\angle ADB$ .
Do đó $\angle ABI=\angle ABM$. Vậy B, I, M thẳng hàng.
- perfectstrong và Leonguyen thích
#6
Đã gửi 09-04-2023 - 13:06
Bài toán mở rộng:
3) Với Y là giao điểm MN và AC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, gọi giao điểm của DI và AM là Z. Chứng minh Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ba điểm Z, Y, E thẳng hàng.
(Đây là một dự đoán mình thấy nhờ dùng Geobra, còn chưa chứng minh được!)
- Leonguyen yêu thích
#7
Đã gửi 09-04-2023 - 16:24
Bài toán mở rộng:
3) Với Y là giao điểm MN và AC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, gọi giao điểm của DI và AM là Z. Chứng minh Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ba điểm Z, Y, E thẳng hàng.
Ý đầu có vẻ dễ chứng minh rồi nhỉ.
Ta có
$\begin{align*}\angle YED&=\angle YEX+\angle XED=\angle YNX+\angle XED=\angle FND+\angle XED=\angle DFN+\angle XED\\&=\angle DEN+\angle XED=\angle XEN=90^{\circ},\end{align*}$
Do đó $DE\perp EY$. Mặt khác $DE\perp EZ$ (dễ dàng suy ra từ kết quả của ý trước) nên $Z, Y, E$ thẳng hàng.
P/s: Nếu ngay từ đầu chứng minh luôn Z, Y, E thẳng hàng, không chứng minh ý mở rộng 1 từ đầu thì bài toán có vẻ sẽ thú vị hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 16:35
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học, hình học phẳng |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh rằng AD là phân giác góc BACBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh