Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.
Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.
#2
Đã gửi 07-04-2023 - 01:17
Do đó theo đề bài ta có
$\frac{n^2(n+1)^2}{4(n+5)}-\frac{17}{n+5}=m\in \mathbb N$
\begin{align*}
m&=\frac{n^2[(n+5)(n-3)+16]}{4(n+5)}-\frac{17}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+\frac{4n^2-17}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+\frac{4(n^2-25)+83}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+4(n-5)+\frac{83}{n+5}
\end{align*}
Nhận xét: Do $\frac{n^2(n-3)}{4}\equiv \{0,\frac{1}{2}\}\pmod 1$
Suy ra $\frac{83}{n+5}\equiv \{0, \frac{1}{2}\}\pmod 1$
Do đó: $n\in\{-171,-88,-7,-6,-4,-3,78,161\}$
Vậy $\boxed{n=78}$ hoặc $\boxed{n=161}$ là hai đáp án cần tìm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-04-2023 - 01:27
- perfectstrong, chanhquocnghiem và Leonguyen thích
#3
Đã gửi 10-04-2023 - 00:28
Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.
Lời giải.
Ta dễ dàng kiểm tra các giá trị $n=1, 2, 3, 4$ không thỏa mãn yêu cầu. Xét các giá trị $n \geqslant 5$.
Đặt $A=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$.
Khi đó $A=1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+5^3+6^3...+(n-1)^3+n^{3}=100+5^3+6^3+...+(n-1)^3+n^3.$
Suy ra
$2A=[100+5^3+6^3+...+(n-1)^3+n^3]+[100+n^3+(n-1)^3+...+6^3+5^3]$
$2A=200+(5^3+n^3)+[6^3+(n-1)^3]+....+[(n-1)^3+6^3]+(n^3+5^3)$
Nhận xét với các số tự nhiên a và b ta có $(a^3+b^3) \vdots (a+b) $.
Do đó các tổng $5^3+n^3,6^3+(n-1)^3,...$ đều chia hết cho $n+5$. Vậy $2A\equiv 200 \mod (n+5).$
Mặt khác, theo bài ra A chia cho $n+5$ dư 17 nên $2A\equiv 34 \mod (n+5).$
Suy ra $ 200-34\equiv 0 \mod (n+5).$ Hay $166 \equiv 0 \mod (n+5).$
Vì $166$ chỉ có bốn ước tự nhiên là $1, 2, 83, 166$ nên $n+5=83$ hoặc $n+5=166$.
Vậy $n=78$ hoặc $n=161$.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh