Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Về một bất đẳng thức hoán vị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 417 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 03-09-2020 - 21:12

Chào các thành viên VMF$,$ vào buổi tối tháng $9$ trời mưa tầm tã mình nổi hứng viết một bài ngắn về bất đẳng thức hoán vị.

 

Bài viết này nói về $\cdots$ (thôi các bạn đọc xuống đi và cho mình ý kiến nhé$,$ mình dở văn nói dài dòng lắm!) :)

 

Về một bất đẳng thức hoán vị

1. Mở đầu

 

Bổ đề. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1.$ Đặt $ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3}.$ Chứng minh rằng

 

$$\begin{equation} \label{(bode)} \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}. \end{equation}$$

 

Lời giải. Ta đi tìm biểu thức $\text{X}$ sao cho $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant X$$

 
Hay $$\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)  \geqslant p \left( a-b \right)  \left( b-c \right)  \left( -c+a \right), $$
 
Hay là: $$\Big[\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)\Big]^2 \geqslant p^2 (-4\,r{p}^{3}+{p}^{2}{q}^{2}+18\,pqr-4\,{q}^{3}-27\,{r}^{2})$$
 
Tương đương với $$f(r)=\left( 4{X}^{2}+4Xp+28{p}^{2} \right) {r}^{2}+ \left( -4\,q{p}^ {2}X-20{p}^{3}q+8{q}^{2}X+4p{q}^{2}+4{p}^{5} \right) r+4\,{q}^ {4}\geqslant 0$$
Ta chọn $\text{X}$ sao cho $:$
$$\Delta_r =0,$$
suy ra $$X_{\text{1},\,\, \text{2}}={\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}\pm 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}}$$
 
Ta chọn dấu cộng để nghiệm đương!
 
Tức là chọn $$X = {\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}+ 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}},$$
 
tương đương với $$X={\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$
 
Tức là $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$
 
Ý tưởng là ở đây.
 
2. Các bài toán áp dụng
 
Trước hết$,$ ta thống nhất đặt $a+b+c=1,ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3} \quad (t \in [0,1] ),r=abc$ trong cả bài viết cho tiện chứng minh.
 
Những bài bên dưới dấu đẳng thức thường khá xấu nên bạn đọc chịu khó tự xét.
 
Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng$:$
 
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Chú ý rằng với $a+b+c=1$ thì $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =(a+b+c)\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Big)= \sum \frac{a^2}{b} +\sum \Big(\frac{ab}{c}+c\Big)$$
$$\geqslant  {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} +\dfrac{1-9r+{t}^{4}-2\,{t}^{2}}{9r}=f(r)$$
Dễ dàng thấy khi r tăng thì $f(r)$ giảm mặt khác $r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}.$ Do đó$:$
 
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}  \geqslant {\frac {3(2\,{t}^{4}-2\,{t}^{2}-2\,t-1)}{ \left( t-1 \right)  \left( t +1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \quad (\text{2})$$
 
Trở lại bài toán$,$ sau một vài bước biến đổi và sử dụng bổ đề trên ta có bất đẳng thức tương đương$:$
 
$$\,{\frac {{t}^{2} \left( 1-2\,t+4\,{t}^{3} \right) }{ \left( 1-t \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0.$$ 
Đây là điều hiển nhiên. 
 
Bài 2. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh rằng$:$ 
 

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{13}{5} \cdot \dfrac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant \dfrac{28}{5}.$$

 

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{2}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$

 

$${\dfrac {{t}^{2} \left(20\,{t}^{4}-46\,{t}^{ 3} -33\,{t}^{2}+16\,t -2\right) }{ \left( t-1 \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right)  \left( 1+2\,{t}^{2} \right) }} \geqslant 0,$$

đây cùng là điều hiển nhiên vì $0 \leqslant t \leqslant 1.$

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$

 

$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+{ \frac {155(ab+ca+bc)}{32({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {307}{64 } $$

 

(Tạ Hồng Quảng)

Lời giải. 

 

Áp dụng bổ đề $(\text{1}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$ 

 

$${\frac {256\,{t}^{6}-616\,{t}^{5}-436\,{t}^{4}+362\,{t}^{3}+53\,{t}^{2 }-130\,t-65}{ \left( 1+2\,{t}^{2} \right)  \left( t-1 \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0,$$

 

đây là điều hiển nhiên.
 
Bài 4. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}} \geqslant {\frac { \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) \left( a+b+c \right) }{ab+ca +bc}} $$
(Tạ Hồng Quảng)
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Với cách làm tương tự$,$ ta cần chứng minh$:$
 
$${\frac {3\,{t}^{2}+2\,t+1}{1+2\,t}} \geqslant 0.$$
 
Bài 5. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}+{\frac {155}{8}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {231}{32}} $$
 
Lời giải. Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh $${\frac {1240\,{t}^{5}+44\,{t}^{4}-1094\,{t}^{3}+29\,{t}^{2}+430\,t+215 }{ \left( 1-t \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0$$
 
(Tạ Hồng Quảng)
Bài 6Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh$:$
 
$${\dfrac {{a}^{2}}{b}}+{\dfrac {{b}^{2}}{c}}+{\dfrac {{c}^{2}}{a}}+{ \dfrac { 9\left( ab+bc+ac \right) ^{3}}{ \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)  \left( a+b+c \right) ^{3}}}\geqslant {\dfrac {6(ab+bc+ac)}{a+b+c}}$$
 
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh$:$ $${\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right)  \left( 1+2\,t \right)  \left( t+1 \right) }}+2\,({t}^{2}-1)-{ \frac { \left( t-1 \right) ^{3} \left( t+1 \right) ^{3}}{1+2\,{t}^{2}} }\geqslant 0.$$
Các bạn hãy thử tự rút gọn và chứng minh nó :)
 
3. Các bài toán rèn luyện
 
Bài toán 1. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh$:$
 
$$ \left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \right )^2+{\frac {2945}{32}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {3667}{128} $$
 
Bài toán 2. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$
 
$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+ {\frac {3\,(ab+ca+bc)}{2\,({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {5}{2} $$
4. Tài liệu tham khảo
 
         $[1]$ Nguyễn Văn Huyện$,$ Bổ đề hoán vị.
         $[2]$ Diễn đàn toán học$:$ https://diendantoanhoc.net
         $[3]$ Art of Problem Solving: https://artofproblemsolving.com
 
PS. Mình mới lớp $9,$ kiến thức còn hạn hẹp$,$ nếu bài viết có gì sai sót mong các bạn góp ý cho mình nhé :)
 
Các bạn có thể tải pdf của bài viết ở file đính kèm hoặc tại: https://drive.google...iew?usp=sharing

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 14-09-2020 - 15:58


#2 tuongtac20

tuongtac20

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 11:31


Chào các thành viên VMF$,$ vào buổi tối tháng $9$ trời mưa tầm tã mình nổi hứng viết một bài ngắn về bất đẳng thức hoán vị.

Bài viết này nói về $\cdots$ (thôi các bạn đọc xuống đi và cho mình ý kiến nhé$,$ mình dở văn nói dài dòng lắm!) :)

Về một bất đẳng thức hoán vị

1. Mở đầu

Bổ đề. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1.$ Đặt $ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3}.$ Chứng minh rằng


$$\begin{equation} \label{(bode)} \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}. \end{equation}$$


Lời giải. Ta đi tìm biểu thức $\text{X}$ sao cho $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant X$$


Hay $$\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right) \geqslant p \left( a-b \right) \left( b-c \right) \left( -c+a \right), $$

Hay là: $$\Big[\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)\Big]^2 \geqslant p^2 (-4\,r{p}^{3}+{p}^{2}{q}^{2}+18\,pqr-4\,{q}^{3}-27\,{r}^{2})$$

Tương đương với $$f(r)=\left( 4{X}^{2}+4Xp+28{p}^{2} \right) {r}^{2}+ \left( -4\,q{p}^ {2}X-20{p}^{3}q+8{q}^{2}X+4p{q}^{2}+4{p}^{5} \right) r+4\,{q}^ {4}\geqslant 0$$
Ta chọn $\text{X}$ sao cho $:$
$$\Delta_r =0,$$
suy ra $$X_{\text{1},\,\, \text{2}}={\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}\pm 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}}$$

Ta chọn dấu cộng để nghiệm đương!

Tức là chọn $$X = {\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}+ 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}},$$

tương đương với $$X={\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}.$$

Tức là $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}.$$

Ý tưởng là ở đây.

2. Các bài toán áp dụng

Trước hết$,$ ta thống nhất đặt $a+b+c=1,ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3} \quad (t \in [0,1] ),r=abc$ trong cả bài viết cho tiện chứng minh.

Những bài bên dưới dấu đẳng thức thường khá xấu nên bạn đọc chịu khó tự xét.

Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng$:$

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Chú ý rằng với $a+b+c=1$ thì $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =(a+b+c)\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Big)= \sum \frac{a^2}{b} +\sum \Big(\frac{ab}{c}+c\Big)$$
$$\geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }} +\dfrac{1-9r+{t}^{4}-2\,{t}^{2}}{9r}=f(r)$$
Dễ dàng thấy khi r tăng thì $f(r)$ giảm mặt khác $r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}.$ Do đó$:$

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant {\frac {3(2\,{t}^{4}-2\,{t}^{2}-2\,t-1)}{ \left( t-1 \right) \left( t +1 \right) \left( 1+2\,t \right) }} \quad (\text{2})$$

Trở lại bài toán$,$ sau một vài bước biến đổi và sử dụng bổ đề trên ta có bất đẳng thức tương đương$:$

$$\,{\frac {{t}^{2} \left( 1-2\,t+4\,{t}^{3} \right) }{ \left( 1-t \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0.$$
Đây là điều hiển nhiên.

Bài 2. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh rằng$:$

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{13}{5} \cdot \dfrac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant \dfrac{28}{5}.$$

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{2}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$

$${\dfrac {{t}^{2} \left(20\,{t}^{4}-46\,{t}^{ 3} -33\,{t}^{2}+16\,t -2\right) }{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) \left( 1+2\,{t}^{2} \right) }} \geqslant 0,$$
đây cùng là điều hiển nhiên vì $0 \leqslant t \leqslant 1.$

Bài 3. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$

$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+{ \frac {155(ab+ca+bc)}{32({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {307}{64 } $$

(Tạ Hồng Quảng)


Lời giải.


Áp dụng bổ đề $(\text{1}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$

$${\frac {256\,{t}^{6}-616\,{t}^{5}-436\,{t}^{4}+362\,{t}^{3}+53\,{t}^{2 }-130\,t-65}{ \left( 1+2\,{t}^{2} \right) \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0,$$

đây là điều hiển nhiên.

Bài 4. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}} \geqslant {\frac { \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) \left( a+b+c \right) }{ab+ca +bc}} $$

(Tạ Hồng Quảng)

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Với cách làm tương tự$,$ ta cần chứng minh$:$

$${\frac {3\,{t}^{2}+2\,t+1}{1+2\,t}} \geqslant 0.$$

Bài 5. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}+{\frac {155}{8}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {231}{32}} $$

Lời giải. Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh $${\frac {1240\,{t}^{5}+44\,{t}^{4}-1094\,{t}^{3}+29\,{t}^{2}+430\,t+215 }{ \left( 1-t \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0$$

(Tạ Hồng Quảng)

Bài 6. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh$:$

$${\dfrac {{a}^{2}}{b}}+{\dfrac {{b}^{2}}{c}}+{\dfrac {{c}^{2}}{a}}+{ \dfrac { 9\left( ab+bc+ac \right) ^{3}}{ \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) \left( a+b+c \right) ^{3}}}\geqslant {\dfrac {6(ab+bc+ac)}{a+b+c}}$$

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh$:$ $${\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( 1+2\,t \right) \left( t+1 \right) }}+2\,({t}^{2}-1)-{ \frac { \left( t-1 \right) ^{3} \left( t+1 \right) ^{3}}{1+2\,{t}^{2}} }\geqslant 0.$$
Các bạn hãy thử tự rút gọn và chứng minh nó :)

3. Các bài toán rèn luyện

Bài toán 1. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh$:$

$$ \left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \right )^2+{\frac {2945}{32}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {3667}{128} $$

Bài toán 2. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$

$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+ {\frac {3\,(ab+ca+bc)}{2\,({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {5}{2} $$
4. Tài liệu tham khảo

$[1]$ Nguyễn Văn Huyện$,$ Bổ đề hoán vị.
$[2]$ Diễn đàn toán học$:$ https://diendantoanhoc.net
$[3]$ Art of Problem Solving: https://artofproblemsolving.com

PS. Mình mới lớp $9,$ kiến thức còn hạn hẹp$,$ nếu bài viết có gì sai sót mong các bạn góp ý cho mình nhé :)
Phan f (r) tang thi co cai bat cung ming thi pan

#3 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 15:20

 

Chào các thành viên VMF$,$ vào buổi tối tháng $9$ trời mưa tầm tã mình nổi hứng viết một bài ngắn về bất đẳng thức hoán vị.

 

Bài viết này nói về $\cdots$ (thôi các bạn đọc xuống đi và cho mình ý kiến nhé$,$ mình dở văn nói dài dòng lắm!) :)

 

Về một bất đẳng thức hoán vị

1. Mở đầu

 

Bổ đề. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1.$ Đặt $ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3}.$ Chứng minh rằng

 

$$\begin{equation} \label{(bode)} \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}. \end{equation}$$

 

Lời giải. Ta đi tìm biểu thức $\text{X}$ sao cho $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant X$$

 
Hay $$\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)  \geqslant p \left( a-b \right)  \left( b-c \right)  \left( -c+a \right), $$
 
Hay là: $$\Big[\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)\Big]^2 \geqslant p^2 (-4\,r{p}^{3}+{p}^{2}{q}^{2}+18\,pqr-4\,{q}^{3}-27\,{r}^{2})$$
 
Tương đương với $$f(r)=\left( 4{X}^{2}+4Xp+28{p}^{2} \right) {r}^{2}+ \left( -4\,q{p}^ {2}X-20{p}^{3}q+8{q}^{2}X+4p{q}^{2}+4{p}^{5} \right) r+4\,{q}^ {4}\geqslant 0$$
Ta chọn $\text{X}$ sao cho $:$
$$\Delta_r =0,$$
suy ra $$X_{\text{1},\,\, \text{2}}={\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}\pm 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}}$$
 
Ta chọn dấu cộng để nghiệm đương!
 
Tức là chọn $$X = {\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}+ 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}},$$
 
tương đương với $$X={\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$
 
Tức là $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$
 
Ý tưởng là ở đây.
 
2. Các bài toán áp dụng
 
Trước hết$,$ ta thống nhất đặt $a+b+c=1,ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3} \quad (t \in [0,1] ),r=abc$ trong cả bài viết cho tiện chứng minh.
 
Những bài bên dưới dấu đẳng thức thường khá xấu nên bạn đọc chịu khó tự xét.
 
Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng$:$
 
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Chú ý rằng với $a+b+c=1$ thì $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} =(a+b+c)\Big(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Big)= \sum \frac{a^2}{b} +\sum \Big(\frac{ab}{c}+c\Big)$$
$$\geqslant  {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} +\dfrac{1-9r+{t}^{4}-2\,{t}^{2}}{9r}=f(r)$$
Dễ dàng thấy khi r tăng thì $f(r)$ giảm mặt khác $r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}.$ Do đó$:$
 
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}  \geqslant {\frac {3(2\,{t}^{4}-2\,{t}^{2}-2\,t-1)}{ \left( t-1 \right)  \left( t +1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \quad (\text{2})$$
 
Trở lại bài toán$,$ sau một vài bước biến đổi và sử dụng bổ đề trên ta có bất đẳng thức tương đương$:$
 
$$\,{\frac {{t}^{2} \left( 1-2\,t+4\,{t}^{3} \right) }{ \left( 1-t \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0.$$ 
Đây là điều hiển nhiên. 
 
Bài 2. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh rằng$:$ 
 

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{13}{5} \cdot \dfrac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant \dfrac{28}{5}.$$

 

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{2}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$

 

$${\dfrac {{t}^{2} \left(20\,{t}^{4}-46\,{t}^{ 3} -33\,{t}^{2}+16\,t -2\right) }{ \left( t-1 \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right)  \left( 1+2\,{t}^{2} \right) }} \geqslant 0,$$

đây cùng là điều hiển nhiên vì $0 \leqslant t \leqslant 1.$

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$

 

$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+{ \frac {155(ab+ca+bc)}{32({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {307}{64 } $$

 

(Tạ Hồng Quảng)

Lời giải. 

 

Áp dụng bổ đề $(\text{1}),$ sau cùng ta cần chứng minh$:$ 

 

$${\frac {256\,{t}^{6}-616\,{t}^{5}-436\,{t}^{4}+362\,{t}^{3}+53\,{t}^{2 }-130\,t-65}{ \left( 1+2\,{t}^{2} \right)  \left( t-1 \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0,$$

 

đây là điều hiển nhiên.
 
Bài 4. Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}} \geqslant {\frac { \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right) \left( a+b+c \right) }{ab+ca +bc}} $$
(Tạ Hồng Quảng)
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Với cách làm tương tự$,$ ta cần chứng minh$:$
 
$${\frac {3\,{t}^{2}+2\,t+1}{1+2\,t}} \geqslant 0.$$
 
Bài 5. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh $$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}+{\frac {155}{8}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {231}{32}} $$
 
Lời giải. Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh $${\frac {1240\,{t}^{5}+44\,{t}^{4}-1094\,{t}^{3}+29\,{t}^{2}+430\,t+215 }{ \left( 1-t \right)  \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }} \geqslant 0$$
 
(Tạ Hồng Quảng)
Bài 6Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh$:$
 
$${\dfrac {{a}^{2}}{b}}+{\dfrac {{b}^{2}}{c}}+{\dfrac {{c}^{2}}{a}}+{ \dfrac { 9\left( ab+bc+ac \right) ^{3}}{ \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)  \left( a+b+c \right) ^{3}}}\geqslant {\dfrac {6(ab+bc+ac)}{a+b+c}}$$
 
Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1.$ Áp dụng bổ đề $(\text{1})$ ta cần chứng minh$:$ $${\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right)  \left( 1+2\,t \right)  \left( t+1 \right) }}+2\,({t}^{2}-1)-{ \frac { \left( t-1 \right) ^{3} \left( t+1 \right) ^{3}}{1+2\,{t}^{2}} }\geqslant 0.$$
Các bạn hãy thử tự rút gọn và chứng minh nó :)
 
3. Các bài toán rèn luyện
 
Bài toán 1. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh$:$
 
$$ \left ( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \right )^2+{\frac {2945}{32}} (ab+bc+ca) \geqslant \frac {3667}{128} $$
 
Bài toán 2. Cho $a,b,c>0;a+b+c=1.$ Chứng minh rằng$:$
 
$$ {\frac {{a}^{2}}{b}}+{\frac {{b}^{2}}{c}}+{\frac {{c}^{2}}{a}}+ {\frac {3\,(ab+ca+bc)}{2\,({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}}\geqslant \frac {5}{2} $$
4. Tài liệu tham khảo
 
         $[1]$ Nguyễn Văn Huyện$,$ Bổ đề hoán vị.
         $[2]$ Diễn đàn toán học$:$ https://diendantoanhoc.net
         $[3]$ Art of Problem Solving: https://artofproblemsolving.com
 
PS. Mình mới lớp $9,$ kiến thức còn hạn hẹp$,$ nếu bài viết có gì sai sót mong các bạn góp ý cho mình nhé :)

 

Cái bài $1$ có cách giải nào khác không??


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#4 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 417 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-09-2020 - 15:23

Cái bài $1$ có cách giải nào khác không??

Bạn có thể dùng SOS :) Bài này cũ kỹ lắm rồi$,$ lấy vô minh họa thôi :D Mà bổ đề $(\text{2})$ không hiệu quả lắm$,$ bất đẳng thức với dạng $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ thì nên dùng bổ đề hoán vị của thầy Cẩn.



#5 tuongtac20

tuongtac20

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 10:21

$r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}$. là chứng minh sao ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuongtac20: 05-09-2020 - 10:22


#6 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 417 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 05-09-2020 - 11:40

$r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}$. là chứng minh sao ?

Nó được suy ra từ $$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \geqslant 0.$$

 

Bạn có thể đọc trên blog mình$:$ https://artofproblem...eous_inequality






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh