Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Ta có $1^3+2^3+…+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Do đó theo đề bài ta có
$\frac{n^2(n+1)^2}{4(n+5)}-\frac{17}{n+5}=m\in \mathbb N$
\begin{align*}
m&=\frac{n^2[(n+5)(n-3)+16]}{4(n+5)}-\frac{17}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+\frac{4n^2-17}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+\frac{4(n^2-25)+83}{n+5}\\
&=\frac{n^2(n-3)}{4}+4(n-5)+\frac{83}{n+5}
\end{align*}
Nhận xét: Do $\frac{n^2(n-3)}{4}\equiv \{0,\frac{1}{2}\}\pmod 1$
Suy ra $\frac{83}{n+5}\equiv \{0, \frac{1}{2}\}\pmod 1$
Do đó: $n\in\{-171,-88,-7,-6,-4,-3,78,161\}$
Vậy $\boxed{n=78}$ hoặc $\boxed{n=161}$ là hai đáp án cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-04-2023 - 01:27


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $1^3+2^3+...+n^3$ chia $n+5$ dư 17.

Lời giải.  

Ta dễ dàng kiểm tra các giá trị $n=1, 2, 3, 4$ không thỏa mãn yêu cầu. Xét các giá trị $n \geqslant 5$. 

Đặt $A=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}$.

Khi đó $A=1^{3}+2^{3}+3^3+4^3+5^3+6^3...+(n-1)^3+n^{3}=100+5^3+6^3+...+(n-1)^3+n^3.$

Suy ra 

$2A=[100+5^3+6^3+...+(n-1)^3+n^3]+[100+n^3+(n-1)^3+...+6^3+5^3]$

$2A=200+(5^3+n^3)+[6^3+(n-1)^3]+....+[(n-1)^3+6^3]+(n^3+5^3)$

Nhận xét với các số tự nhiên a và b ta có $(a^3+b^3) \vdots (a+b) $.

Do đó các tổng $5^3+n^3,6^3+(n-1)^3,...$ đều chia hết cho $n+5$. Vậy $2A\equiv 200 \mod (n+5).$

Mặt khác, theo bài ra A chia cho $n+5$ dư 17 nên $2A\equiv 34 \mod (n+5).$

Suy ra $ 200-34\equiv 0 \mod (n+5).$ Hay $166 \equiv 0 \mod (n+5).$

Vì $166$ chỉ có bốn ước tự nhiên là  $1, 2, 83, 166$ nên $n+5=83$ hoặc $n+5=166$. 

Vậy $n=78$ hoặc $n=161$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh