Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

help cần-gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 15:05

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c \geqslant 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 05-09-2020 - 17:08

#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:16

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Gợi ý: Viết $P$ theo các đại lượng đối xứng cơ bản $q=\sum bc,r=abc$. Sau đó sử dụng phương pháp tạo tích đưa BĐT về một biến $q$.


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:19

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Gợi ý: Tạo tích dạng $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#4 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:20

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Gợi ý:Làm tương tự bài 2.


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#5 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:22

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Gợi ý: Đưa về chung mẫu


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#6 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:30

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

Phản ví dụ: $a=b=2; c=-1$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#7 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-09-2020 - 16:33

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ!!

Mình chưa tìm được lời giải cụ thể. Đây là đáp số bài $1.$

Bài $1$. $P_\max =57$ khi $(a,b,c)=(0,0,3)$ và các hoán vị.

$P_\min =3$ khi $a=b=c=1.$

Bãi $5.$ Chỉ  đúng với $a,b,c \geqslant 1.$

Edit. Bài $1$ đối sang pqr rồi lấy $57-f(p,q,r);f(p,q,r)-3$ là ra nhé :))

Edit 1. Ừ nhỉ, dạo này hay lú lẫn quá. Thanks @PDF.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 04-09-2020 - 17:58

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#8 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:47

Mình chưa tìm được lời giải cụ thể. Đây là đáp số bài $1.$

Bài $1$. $P_\max =57$ khi $(a,b,c)=(0,0,3)$ và các hoán vị.

$P_\min =3$ khi $a=b=c=1.$

Bãi $5.$ Chỉ  đúng với $a,b,c \geqslant 1.$

Edit. Bài $1$ đối sang pqr rồi lấy $57-f(p,q,r);f(p,q,r)-3$ là ra nhé :))

$a,b,c\in [0;2]$ bạn nhé :D


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#9 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-09-2020 - 16:49

$a,b,c\in [0;2]$ bạn nhé :D

Thì bài này có $2$ loại điều kiện thôi có sao đâu :D

 

Điều kiện của mình cũng đúng như khoảng nó rộng hơn của bạn :)

cAk0OBt.png

 

Edit. Ok$,$ mình tưởng bài $5$ :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 04-09-2020 - 16:58

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#10 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 04-09-2020 - 16:54

Bạn đưa phản ví dụ xem, mình thấy nó không cần thiết. (Đã kiểm chứng trên Maple)

cAk0OBt.png

 

Và điều kiện của bạn cũng sai. [a = 1/7, b = 1/2, c = 33/14]

Mình đang nói bài 1 bạn nhé. Còn với bài $5$, nếu $a,b,c\geq 1$ thì $a=b=c=1$ rồi :lol:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 04-09-2020 - 16:56

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#11 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 424 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 04-09-2020 - 16:55

Mình đang nói bài 1 bạn nhé

À đợi tí mình kiểm tra lại, nãy ko nhập $a\leqslant 2$  :icon6:

 

Edit. Sửa lại $P_\max =17$ khi $a=0,b=1,c=2$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 04-09-2020 - 16:57

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#12 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 16:58

Phản ví dụ: $a=b=2; c=-1$

 

 

Mình chưa tìm được lời giải cụ thể. Đây là đáp số bài $1.$

Bài $1$. $P_\max =57$ khi $(a,b,c)=(0,0,3)$ và các hoán vị.

$P_\min =3$ khi $a=b=c=1.$

Bãi $5.$ Chỉ  đúng với $a,b,c \geqslant 1.$

Edit. Bài $1$ đối sang pqr rồi lấy $57-f(p,q,r);f(p,q,r)-3$ là ra nhé :))

Bài 5 em ghi đúng đề thầy đưa rồi nhưng chắc đề sai thật :(


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#13 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 19:41

Gợi ý: Viết $P$ theo các đại lượng đối xứng cơ bản $q=\sum bc,r=abc$. Sau đó sử dụng phương pháp tạo tích đưa BĐT về một biến $q$.

 

 

Gợi ý: Tạo tích dạng $(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

 

 

Gợi ý:Làm tương tự bài 2.

 

 

Gợi ý: Đưa về chung mẫu

Hi vọng nếu anh rảnh thì trình bày giúp em ạ (tóm tắt cũng được) :)


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#14 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 20:18

Gợi ý: Viết $P$ theo các đại lượng đối xứng cơ bản $q=\sum bc,r=abc$. Sau đó sử dụng phương pháp tạo tích đưa BĐT về một biến $q$.

Anh ơi bài 1 này có bậc 4 đưa về các đa thức đối xứng cơ sở kiểu gì ạ??


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#15 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 04-09-2020 - 20:42

Gợi ý:Làm tương tự bài 2.

Anh ơi bài 3 này dấu "=" xảy ra khi nào??


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#16 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 472 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$

Đã gửi 04-09-2020 - 22:50

4.

$1\geq a,b,c,d\rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+1}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+1}\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}\leq \frac{3(abcd+1)}{abcd+1}=3$

Do:

$(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow ab+1\geq a+b;(ab-1)(cd-1)\geq 0\rightarrow abcd+1\geq ab+cd$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 04-09-2020 - 22:50


#17 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 472 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$

Đã gửi 04-09-2020 - 22:53

Bài 1 là câu bất của KHTN năm 2009



#18 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 11:03

4.

$1\geq a,b,c,d\rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+1}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+1}\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}\leq \frac{3(abcd+1)}{abcd+1}=3$

Do:

$(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow ab+1\geq a+b;(ab-1)(cd-1)\geq 0\rightarrow abcd+1\geq ab+cd$

Anh ơi anh có thể giải thích rõ chút đc không ạ? :(


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#19 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 15:52

4.

$1\geq a,b,c,d\rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+1}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+1}\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}\leq \frac{3(abcd+1)}{abcd+1}=3$

Do:

$(a-1)(b-1)\geq 0\rightarrow ab+1\geq a+b;(ab-1)(cd-1)\geq 0\rightarrow abcd+1\geq ab+cd$

À thôi em hỉu rồi ạ :))


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#20 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 05-09-2020 - 16:20

Anh ơi bài 1 này có bậc 4 đưa về các đa thức đối xứng cơ sở kiểu gì ạ??

Chú ý rằng $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a+b+c)^{4}-4(a+b+c)^{2}(bc+ca+ab)+2(bc+ca+ab)^{2}+4abc(a+b+c)=81-36q+2q^{2}+12r$

$\Rightarrow P=2q^{2}-36q+81+12r-12(r-q+2)=2q^{2}-24q+57$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh