Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

help cần-gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#21 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 16:31

Chú ý rằng $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a+b+c)^{4}-4(a+b+c)^{2}(bc+ca+ab)+2(bc+ca+ab)^{2}+4abc(a+b+c)=81-36q+2q^{2}+12r$

$\Rightarrow P=2q^{2}-36q+81+12r-12(r-q+2)=2q^{2}-24q+57$

Anh ơi anh có thể giúp em nốt câu 3 không ạ  :wacko:


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#22 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 17:09

Chú ý rằng $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a+b+c)^{4}-4(a+b+c)^{2}(bc+ca+ab)+2(bc+ca+ab)^{2}+4abc(a+b+c)=81-36q+2q^{2}+12r$

$\Rightarrow P=2q^{2}-36q+81+12r-12(r-q+2)=2q^{2}-24q+57$

Anh ơi bài 5 em sửa lại đề bài rồi ạ :))


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#23 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 05-09-2020 - 18:12

Anh ơi bài 5 em sửa lại đề bài rồi ạ :))

Phản ví dụ: $a=\frac{5}{2}; b=\frac{1}{2}; c=0$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#24 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 18:20

Phản ví dụ: $a=\frac{5}{2}; b=\frac{1}{2}; c=0$

Anh ơi anh nhầm rồi, $b \geqslant 1$ mà! :))


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#25 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 05-09-2020 - 18:27

Anh ơi anh nhầm rồi, $b \geqslant 1$ mà! :))

Ừ nhỉ :lol: Để tí anh giải cho :lol:


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#26 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 05-09-2020 - 18:27

Ừ nhỉ :lol: Để tí anh giải cho :lol:

Giật hết cả mình :), tưởng sai tiếp


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#27 hnamsnhl0301

hnamsnhl0301

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
  • Sở thích:Inequalities And Number Theory

Đã gửi 06-09-2020 - 17:25

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c \geqslant 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ!!

Bài 3:

Đặt $\sum ab=q,abc=r \Rightarrow \sum a^2\doteq 9-2q \Rightarrow VT =\frac{4}{q}+\frac{5r}{9-2q}$

$a\geq 1\geq b\geq c\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq \sum ab-\sum a+1=\sum ab-2$

Hay $r\geq q-2$$\Rightarrow VT\geq \frac{4}{q}+\frac{5q-10}{9-2q}$

Ta đi cm:$\frac{4}{q}+\frac{5q-10}{9-2q}\geq 2\Leftrightarrow 4(9-2q)+5q(q-2)\geq 2q(9-2q)\Leftrightarrow 9q^2-36q+36\geq 0$

$\Leftrightarrow 9(q-2)^2\geq 0$(hiển nhiên đúng)$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \sum a=3 , \sum ab=2 , a\geq 1\geq b\geq c , (a-1)(b-1)(c-1)=0\Leftrightarrow (a,b,c)=(2,1,0)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hnamsnhl0301: 06-09-2020 - 17:28


#28 hnamsnhl0301

hnamsnhl0301

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
  • Sở thích:Inequalities And Number Theory

Đã gửi 06-09-2020 - 17:41

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c \geqslant 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ!!

Bài 2:

$a\leq 1\leq b\leq c\Rightarrow(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\Rightarrow abc\leq \sum ab-\sum a+1=\sum ab-2$

VT=$\geq \frac{1}{\sum ab-2}+\sum ab$

Ta đi cm : $\frac{1}{\sum ab-2}+\sum ab\geq 4

\Leftrightarrow (\sum ab)^2-2\sum ab+1\geq 4(\sum ab-2)\Leftrightarrow (\sum ab-3)^2\geq 0$(hiển nhiên đúng)

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,1,1)$



#29 hnamsnhl0301

hnamsnhl0301

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
  • Sở thích:Inequalities And Number Theory

Đã gửi 06-09-2020 - 18:27

Bài 1: Với $0\leqslant a,b,c\leqslant 2$ và $a+b+c$=3, tìm $Max$ và $Min$ của biểu thức:

$$P=a^4+b^4+c^4-12(a-1)(b-1)(c-1).$$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\leqslant 1\leqslant b\leqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{abc}+ab+bc+ca\geqslant 4.$$

Bài 3: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a\geqslant 1\geqslant b\geqslant c$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{4}{ab+bc+ca}+\frac{5abc}{a^2+b^2+c^2}\geqslant 2.$$

Bài 4: Cho $0 \leqslant a,b,c,d \leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+cda}+\frac{c}{1+dab}+\frac{d}{1+abc}\leqslant 3.$$

Bài 5: Cho $a \geqslant b \geqslant 1 \geqslant c \geqslant 0$, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{36}{a^3+b^3+c^3}+9\leqslant \frac{65}{a^2+b^2+c^2}.$$

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ!!

Bài 1:

$\sum a^4$ = $(\sum a^2)^2-2\sum a^2b^2=(9-2\sum ab)^2-2(\sum ab)^2+4abc\sum a =81-36\sum ab+4(\sum ab)^2-2(\sum ab)^2+12abc=81-36\sum ab+2(\sum ab)^2+12abc$

$12(a-1)(b-1)(c-1)=12(abc-\sum ab+\sum a-1)=12(abc-\sum ab+2)=12abc-12\sum ab+24$

$\Rightarrow P=2(\sum ab)^2-24\sum ab+57$

$0\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow (2-a)(2-b)(2-c)+abc\geq 0\Rightarrow \sum ab\geq 2$

$\sum ab\leq \frac{(\sum a)^2}{3}\doteq 3$

Đến đây thì oke rồi  :D  :D  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hnamsnhl0301: 06-09-2020 - 18:59


#30 hnamsnhl0301

hnamsnhl0301

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
  • Sở thích:Inequalities And Number Theory

Đã gửi 06-09-2020 - 19:24

Bài 5:

Em xem lại đề bài nha ? Liệu có đúng dấu a,b,c không hay là nhầm dấu ở bđt cần cm?







4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh