Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu cặp số thực $(a,b)$ thỏa :
$$(a+bi)^{2022}=a-bi$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 09-04-2023 - 22:45

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu cặp số thực $(a,b)$ thỏa :
$$(a+bi)^{2022}=a-bi$$

Đặt $\arg(a+bi)=\varphi$ ($\varphi \in \left [ 0;2\pi \right )$)

$(a+bi)^{2022}=a-bi\Rightarrow \left\{\begin{matrix}(a^2+b^2)^{2022}=a^2+b^2\\2022\varphi =2k\pi-\varphi \end{matrix}\right.$

$\mathbf{TH1}$ : $a^2+b^2=0\Rightarrow (a,b)=(0,0)$

$\mathbf{TH2}$ :

$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=1\\\varphi =k.\frac{2\pi}{2023} \end{matrix}\right.$

Có $2023$ giá trị $\varphi$ thỏa mãn ($k$ từ $0$ đến $2022$)

$\Rightarrow$ Có $2023$ cặp số thực $(a,b)$ thỏa mãn.

 

Tổng cộng có tất cả $2024$ cặp số thực thỏa mãn.

(Edited)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-04-2023 - 10:09

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem Kết quả của em lại khác 1 tí. Nhầm chỗ nào vậy ta?
Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$
Ta có:
$$\begin {align*}
z^{2022}&=\overline{z}\qquad (1)\\
\Rightarrow \left | z^{2022} \right |&=\left | \overline{z} \right |\\
\Rightarrow \left |  z\right |^{2022}&=\left | z \right |\\
\Rightarrow \left |  z\right |^{2022}-\left | z \right |  &=0\\
\Rightarrow \left | z \right |\left ( \left | z \right |^{2021}-1 \right )&=0\\
\Rightarrow \left | z \right |&=0\text{ hoặc }\left | z \right |=1
\end{align*}$$
Xét :
$\bullet\;\left | z \right |=0\Rightarrow a,b=0\Rightarrow $ có 1 cặp $(a,b)$ thỏa đề bài.
$ \bullet\;\left | z \right |=1.$ Suy ra từ $(1):$
$\Rightarrow z^{2023}=z\overline{z}=\left | z \right |^2 \Rightarrow
z^{2023}=1$
Phương trình này có 2023 nghiệm là căn bậc 2023 của đơn vị cho nên có 2023 cặp $(a,b)$ thỏa đề bài.
Vậy, tổng cộng có $2024$ cặp $(a,b)$ thỏa yêu cầu.

[chanhquocnghiem]

@chanhquocnghiem Kết quả của em lại khác 1 tí. Nhầm chỗ nào vậy ta?
Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$
Ta có:
$$\begin {align*}
z^{2022}&=\overline{z}\qquad (1)\\
\Rightarrow \left | z^{2022} \right |&=\left | \overline{z} \right |\\
\Rightarrow \left |  z\right |^{2022}&=\left | z \right |\\
\Rightarrow \left |  z\right |^{2022}-\left | z \right |  &=0\\
\Rightarrow \left | z \right |\left ( \left | z \right |^{2021}-1 \right )&=0\\
\Rightarrow \left | z \right |&=0\text{ hoặc }\left | z \right |=1
\end{align*}$$
Xét :
$\bullet\;\left | z \right |=0\Rightarrow a,b=0\Rightarrow $ có 1 cặp $(a,b)$ thỏa đề bài.
$ \bullet\;\left | z \right |=1.$ Suy ra từ $(1):$
$\Rightarrow z^{2023}=z\overline{z}=\left | z \right |^2 \Rightarrow
z^{2023}=1$
Phương trình này có 2023 nghiệm là căn bậc 2023 của đơn vị cho nên có 2023 cặp $(a,b)$ thỏa đề bài.
Vậy, tổng cộng có $2024$ cặp $(a,b)$ thỏa yêu cầu.

Rồi, vậy là mình đã bị sót mất cặp $(a,b)=(0,0)$ (Rất tiếc, I'm sorry... Đã sửa ở trên)