Vẽ $B'$ đối xứng với $B$ qua $d_2$. Dễ tính được tọa độ $B_2 = (-2; -3)$.
Vẽ $AB'$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $C,D$. Dễ dàng tính được $C = (0;1); D = (-1;1)$.
Đồng thời, ta chứng minh được $C, D$ nằm giữa $A,B'$ và $C$ nằm giữa $A,D$. Điều này sẽ quan trọng trong việc chứng minh cực trị của $T$.
Xét $T = AM + MN + BN = AM + MN + NB'$.
Ta chứng minh $T \ge AB'$. Thật vậy:
- Nếu $M, N$ cùng phía so với $AB'$ thì $T \ge AN + NB' \ge AB'$.
- Nếu $M, N$ khác phía so với $AB'$ thì lấy $P$ là giao điểm của $MN$ với $AB'$. Ta có: $T =AM + MP +PN + NB' \ge AP + PB \ge AB'$.
Vậy ta luôn có $T \ge AB'$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv C$ và $N \equiv D$.