Chủ đề này có 2 trả lời

[Hai Huynh]

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 2 điểm $A(3;1), B(0;1)$ và các đường thẳng $d_1: 2x-y-2=0$ và $d_2: x+y+2=0$. Các điểm $M,N$ lần lượt thay đổi trên $d_1$ và $d_2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AM+BN+MN$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-04-2023 - 20:47
Tiêu đề & LaTeX

[perfectstrong]

Vẽ $B'$ đối xứng với $B$ qua $d_2$. Dễ tính được tọa độ $B_2 = (-2; -3)$.

Vẽ $AB'$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $C,D$. Dễ dàng tính được $C = (0;1); D = (-1;1)$.

Đồng thời, ta chứng minh được $C, D$ nằm giữa $A,B'$ và $C$ nằm giữa $A,D$. Điều này sẽ quan trọng trong việc chứng minh cực trị của $T$.

Xét $T = AM + MN + BN = AM + MN + NB'$.

Ta chứng minh $T \ge AB'$. Thật vậy:

- Nếu $M, N$ cùng phía so với $AB'$ thì $T \ge AN + NB' \ge AB'$.

- Nếu $M, N$ khác phía so với $AB'$ thì lấy $P$ là giao điểm của $MN$ với $AB'$. Ta có: $T =AM + MP +PN + NB' \ge AP + PB \ge AB'$.

Vậy ta luôn có $T \ge AB'$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv C$ và $N \equiv D$.

[perfectstrong]

Bây giờ, bạn hãy thử sức với một mở rộng thuần hình học:

Bài toán

Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ phân biệt trên mặt phẳng, và hai điểm $A,B$ phân biệt không thuộc $d_1, d_2$. Tìm $M, N$ lần trên $d_1,d_2$ sao cho $T=AM+MN+NB$ nhỏ nhất.