Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ chứng minh: $\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2} + \frac{c}{c+a^2} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 10-04-2023 - 21:13
cm $\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2} + \frac{c}{c+a^2} \leq \frac{1}{4}(1/a+ 1/b + 1/c)$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 10-04-2023 - 21:10
#2
Đã gửi 10-04-2023 - 22:33
truongphat266
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
Có: $\sum_{a,b,c}^{}\frac{a}{a+b^2}=\sum_{a,b,c}^{}\frac{a}{a^2+b^2+ac+ab}\leq \sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{4\sqrt{b\sqrt{bc}}}$
$\rightarrow$ ĐPCM $\Leftrightarrow \sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{\sqrt{b\sqrt{bc}}}\leq \sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{a}$
Theo Cauchy-Schwarz:
$VT=\sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{\sqrt{a}}.\sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{\sqrt[4]{ab}}\leq \sqrt{\sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{a}.\sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{\sqrt{ab}}}\leq \sqrt{(\sum_{a,b,c}^{}\frac{1}{a})^2}=VP$
$\rightarrow$ ĐPCM.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
