Chủ đề này có 1 trả lời

[HaiDangPham]

BÀI TOÁN. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là trực tâm của tam giác ABO và tam giác ACO. D là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.

 

Môt bài toán hình đẹp. Không dễ nhìn ra cách giải vì hình hơi rối. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 12-04-2023 - 22:12

[HaiDangPham]

Điểm mấu chốt trong lời giải sau của mình trước hết là xác định đúng hướng chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDF, và để làm được điều đó ta sẽ phải chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng là EBH và ACD, FKC và ADB. 

Lời giải. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh AB và AC.

 

Ta có BE song song CF (vì cùng vuông góc với OA) do đó $\angle EBD=\angle BCF$.  Ta thấy rằng nếu chứng minh được $\frac{BE}{CF}=\frac{BD}{CD}$, thì sẽ có tam giác BDE và tam giác CDF đồng dạng và từ đó dễ dàng chỉ ra ba điểm D, E, F thẳng hàng. 

 

Bây giờ, ta đi chứng minh tỉ lệ thức trên.

 

Vì AOB là tam giác cân, có OH là đường cao, nên OH cũng là tia phân giác góc AOB. Do đó $\angle EBH=\angle AOH=\frac{1}{2}.\angle AOB.$  Mà $\angle ACD=\frac{1}{2}.\angle AOB$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB). Do đó $\angle EBH=\angle ACD.$ Tam giác EBH đồng dạng với tam giác ACD (g.g), dẫn tới $\frac{BE}{AC}=\frac{BH}{CD}.$ Mà H là trung điểm AB nên $BH=\frac{AB}{2}.$ Vậy $BE=\frac{AB.AC}{2.CD}.$ Chứng minh tương tự ta có tam giác FKC đồng dạng với tam giác ADB, dẫn tới $CF=\frac{AB.AC}{2.BD}.$ Từ đó suy ra tỉ lệ thức cần chứng minh. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-04-2023 - 13:41