Có 68 người tham gia vào một chương trình đố vui. Có 6 câu hỏi tương ứng với số điểm từ 1 đến 6 theo thứ tự câu hỏi (Câu 1-1 điểm; Câu 2-2 điểm;..;Câu 6-6 điểm).Nếu trả lời câu $n$ thì được $n$ điểm. Nếu sai câu $n$ thì trừ $n$ điểm.
a) Chứng minh rằng có ít nhất 2 người trả lời đúng và sai như nhau.
b) Chứng minh rằng có ít nhất 4 người có cùng số điểm
a) Mỗi câu trả lời chỉ có thể đúng hoặc sai $\Rightarrow$ có thể có tối đa $2^6=64$ bảng trả lời khác nhau.
Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất $\left \lfloor \frac{68}{64} \right \rfloor+1=2$ người có bảng trả lời giống nhau
b) Nếu người trả lời đúng $0$ câu được $P$ điểm thì :
- Người chỉ trả lời đúng câu 1 được $P+2$ điểm.
- Người chỉ trả lời đúng câu 2 được $P+4$ điểm.
- Người chỉ trả lời đúng câu 3 được $P+6$ điểm.
- ............................................
- ............................................
- Người trả lời đúng $6$ câu được $P+42$ điểm.
Như vậy số điểm của mỗi người có thể nhận một trong $22$ giá trị.
Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất $\left \lfloor \frac{68}{22} \right \rfloor+1=4$ người có cùng số điểm.