Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\sum_{cyc}\frac{a^2b}{ab^2+1}\geq \frac{3abc}{1+abc}$ ($a, b, c > 0$)

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 444 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-09-2020 - 19:55

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^2b}{ab^2+1}+\frac{b^2c}{bc^2+1}+\frac{c^2a}{ca^2+1}\geq \frac{3abc}{1+abc}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 11-09-2020 - 19:57

:mellow:  :mellow:  :mellow:


#2 bachthaison

bachthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Vĩnh Yên - Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Số học, đại số, hình học

Đã gửi 11-09-2020 - 20:20

Tớ định dùng Cauchy cho 3 số rồi đánh giá mẫu bằng S.O.S. Hóng full solution


Bạn chỉ cần ngồi không là bạn cũng có tiền, từ 1-2 người, chúng ta sẽ có cả 1 hệ thống!


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 11-09-2020 - 20:28

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^2b}{ab^2+1}+\frac{b^2c}{bc^2+1}+\frac{c^2a}{ca^2+1}\geq \frac{3abc}{1+abc}$.

Bất đẳng thức tương đương với:

$\sum_{cyc} \frac{a}{c(ab^{2}+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$VT\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum ac(ab^{2}+1)}=\frac{(\sum a)^{2}}{(\sum bc)(abc+1)}\geq VP$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh