Chủ đề này có 2 trả lời

[Camm]

Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x+y\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{2(x^2+y^2)} + \frac{4}{xy} +2xy$

[truongphat266]

Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x+y\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{2(x^2+y^2)} + \frac{4}{xy} +2xy$

Do $x+y\leq 1$ $\rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Có: $A=(\frac{1}{2(x^2+y^2)}+\frac{1}{4xy})+(\frac{\frac{1}{2}}{4xy}+2xy)+\frac{\frac{29}{2}}{4xy}\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{29}{2}=\frac{31}{2}$

Vậy: $A_{min}=\frac{31}{2}$ Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{2}$

[QuocMinh2k8]

$P=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^{2}+y^{2}} +\frac{1}{2xy}\right )+\left ( 2xy+\frac{1}{8xy} \right )+\frac{29}{8xy}$

Ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}} +\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x+y}\geq 4$

$2xy+\frac{1}{8xy}\geq 2\sqrt{2xy.\frac{1}{8xy}}\geq 1$

$xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{29}{8xy}\geq \frac{29}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{35}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 14-04-2023 - 22:31