Chủ đề này có 2 trả lời

[tuanduc]

tìm $n$ nguyên dương để $7^{n} | 9^{n} - 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanduc: 15-04-2023 - 15:47
Tiêu đề & LaTeX : Phải kẹp công thức trong cặp dấu $

[truongphat266]

tìm $n$ nguyên dương để $7^{n} | 9^{n} - 1$

Có: $9^n-1=8(9^{n-1}+9^{n-2}+...+1)$

$\rightarrow 9^{n-1}+9^{n-2}+...+1 \vdots 7^n$

Xét $n=0$ $\rightarrow$ Thỏa mãn

Xét $n\geq 1$

          Xét: $n=1$ $\rightarrow 9+1=10 \equiv 3 (mod7)$

          Xét: $n=k$ $k\geq 1$ Giả sử: $9^{k}+9^{k-1}+...+1\equiv m(mod7)$ $1\leq m\leq 6$ đúng

          Xét: $n=k+1$ $\rightarrow 9^k+9^{k-1}+...+9=9(9^{k-1}+...+1)\equiv 2m (mod 7)$         

$\rightarrow 9^{n-1}+9^{n-2}+...+1$ không chia hết cho $7$ với $n$ nguyên dương lớn hơn $0$

Vậy ta có $0$ là $n$ duy nhất thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 15-04-2023 - 21:59

[chuyenndu]

$1\equiv 9^n\equiv 2^n (mod7^n)$

mà $7^n>2^n-1$ nên không có n nguyên dương thỏa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 16-04-2023 - 10:34