Chủ đề này có 4 trả lời

[oCa nTie tDa6969]

Bài 1 Cho a,b,c >0 .CMR 

a) $\sum a^2+abc+5\geq3(a+b+c )$

b) $\sum a^2 +2abc + 4 \geq 2 (a+b+c) +ab+bc+ca$

                                            

[ThIsMe]

Bài 1 Cho a,b,c >0 .CMR 

a) $\sum a^2+abc+5\geq3(a+b+c )$

b) $\sum a^2 +2abc + 4 \geq 2 (a+b+c) +ab+bc+ca$

$a)$ Giả sử $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Leftrightarrow ab -a-b+1\geqslant 0\Leftrightarrow ab\geqslant a+b-1\Leftrightarrow abc\geqslant ac+bc-c.$

Tức là cần chứng minh:

$$\sum a^2 +ac+bc-c+5\geqslant 3\sum a$$

$$\Leftrightarrow 2\sum a^2+2ac+2bc-8c-6a-6b+10\geqslant 0$$

$$\Leftrightarrow (a+c)^2+(b+c)^2+a^2+b^2-8c-6a-6b+10\geqslant 0.(*)$$

Có:

$(a+c)^2+4 \geqslant 4(a+c) \Rightarrow (a+c)^2 \geqslant 4a+4c-4.$

Tương tự có: $(b+c)^2 \geqslant 4b+4c-4.$

                      $a^2\geqslant 2a-1$.

                      $b^2\geqslant 2b-1$.

Cộng lại 4 BĐT trên sẽ được $VT(*) \geqslant 0.$(đpcm)

$b)$ Bạn thử làm tương tự đi, mình đang bận, có gì giải sau

[ThIsMe]

Bài 1 Cho a,b,c >0 .CMR 

a) $\sum a^2+abc+5\geq3(a+b+c )$

b) $\sum a^2 +2abc + 4 \geq 2 (a+b+c) +ab+bc+ca$

À$...$ Bạn có cần phần $b$ không $?$

[tthnew]

Bài 1 Cho a,b,c >0 .CMR 

a) $\sum a^2+abc+5\geq3(a+b+c )$

b) $\sum a^2 +2abc + 4 \geq 2 (a+b+c) +ab+bc+ca$

Do $\prod \big[(a-1)(b-1)\big] =(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2 \geqslant 0$ nên ta có thể giả sử $(a-1)(b-1) \geqslant 0.$ Khi đó:

$$\text{Vế trái} -\text{Vế phải} =2\,c \left( b-1 \right)  \left( a-1 \right) +\dfrac{1}{4} \left( 2\,c+a+b-4 \right) ^{2}+\dfrac{3}{4} \left( a-b \right) ^{2}\geqslant 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-09-2020 - 18:41

[ThIsMe]

Do $\prod \big[(a-1)(b-1)\big] =(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2 \geqslant 0$ nên ta có thể giả sử $(a-1)(b-1) \geqslant 0.$ Khi đó:

$$\text{Vế trái} -\text{Vế phải} =2\,c \left( b-1 \right)  \left( a-1 \right) +\dfrac{1}{4} \left( 2\,c+a+b-4 \right) ^{2}+\dfrac{3}{4} \left( a-b \right) ^{2}\geqslant 0$$

$SOS$ kì diệu quá$!$