Chủ đề này có 7 trả lời

[oCa nTie tDa6969]

1)Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ .CMR $0< ab+bc+ca-abc\leq 2$

2) Cho $1\leq a,b,c \leq 3$ . Tìm max P =$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

3) Cho  a,b,c $\geq 0$ , $a^3+b^3+c^3+abc=4$.CMR $a^3b+b^3c+c^3a\leq 3$ 

4) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=5 , a^2+b^2+c^2=11$. CMR$\frac{1}{3}\leq a \leq 1\leq b \leq \frac{7}{3}\leq c \leq 3$

P/s : Dùng tạo tích nhé !!!

[PDF]

1)Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ .CMR $0< ab+bc+ca-abc\leq 2$

BĐTVT: Trong ba số $a,b,c$ phải có một số không lớn hơn $1$. Giả sử $c\leq 1$.

Ta có: $P=bc+ca+ab-abc=ab(1-c)+c(a+b)>0$.

BĐTVP: Trong ba số $a-1;b-1;c-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử là $a-1$ và $b-1$

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow P\leq bc+ca+ab-c(a+b-1)=ab+c$

Mặt khác, $4\geq c^{2}+ab(c+2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(ab+c-2)\leq 0$

$\Rightarrow ab+c\leq 2$

$\Rightarrow P\leq ab+c\leq 2$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 17-09-2020 - 18:11

[oCa nTie tDa6969]

BĐTVT: Trong ba số $a,b,c$ phải có một số không lớn hơn $1$. Giả sử $c\leq 1$.

Ta có: $P=bc+ca+ab-abc=ab(1-c)+c(a+b)>0$.

BĐTVP: Trong ba số $a-1;b-1;c-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử là $a-1$ và $b-1$

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow P\leq bc+ca+ab-c(a+b-1)=ab+c$

Mặt khác, $4\geq c^{2}+ab(c+2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(ab+c-2)\leq 0$

$\Rightarrow ab+c\leq 2$

$\Rightarrow P\leq ab+c\leq 2$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

Anh giúp em câu 3, 4 đc không ạ 

[PDF]

4) Cho các số thực $a\leq b\leq c$ thỏa mãn $a+b+c=5 , a^2+b^2+c^2=11$. CMR$\frac{1}{3}\leq a \leq 1\leq b \leq \frac{7}{3}\leq c \leq 3$

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$

[Tan Thuy Hoang]

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$

Làm sao để chứng minh $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$ ạ?

[ThIsMe]

Làm sao để chứng minh $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$ ạ?

Có :$b+c=5-a$; $b^2+c^2=11-a^2$

và $$2(b^2+c^2)\geqslant (b+c)^2$$

hay $$2(11-a^2)\geqslant (5-a)^2$$.

Từ đây chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử chặn được $a$.

Tương tự với $b,c$

[oCa nTie tDa1]

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$

Anh rảnh thì anh vt hộ em đoạn tương tự ạ , em chưa hiểu lắm

[PDF]

Anh rảnh thì anh vt hộ em đoạn tương tự ạ , em chưa hiểu lắm

Tương tự, $(b-1)(3b-7)=(b-a)(b-c)\leq 0; (c-1)(3c-7)\geq 0$