Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$0< ab+bc+ca-abc\leq 2$

pp tạo tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 oCa nTie tDa6969

oCa nTie tDa6969

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Đã gửi 15-09-2020 - 14:33

1)Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ .CMR $0< ab+bc+ca-abc\leq 2$

2) Cho $1\leq a,b,c \leq 3$ . Tìm max P =$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

3) Cho  a,b,c $\geq 0$ , $a^3+b^3+c^3+abc=4$.CMR $a^3b+b^3c+c^3a\leq 3$ 

4) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a+b+c=5 , a^2+b^2+c^2=11$. CMR$\frac{1}{3}\leq a \leq 1\leq b \leq \frac{7}{3}\leq c \leq 3$

P/s : Dùng tạo tích nhé !!!



#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 17-09-2020 - 18:11

1)Cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ .CMR $0< ab+bc+ca-abc\leq 2$

BĐTVT: Trong ba số $a,b,c$ phải có một số không lớn hơn $1$. Giả sử $c\leq 1$.

Ta có: $P=bc+ca+ab-abc=ab(1-c)+c(a+b)>0$.

BĐTVP: Trong ba số $a-1;b-1;c-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử là $a-1$ và $b-1$

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow P\leq bc+ca+ab-c(a+b-1)=ab+c$

Mặt khác, $4\geq c^{2}+ab(c+2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(ab+c-2)\leq 0$

$\Rightarrow ab+c\leq 2$

$\Rightarrow P\leq ab+c\leq 2$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 17-09-2020 - 18:11

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#3 oCa nTie tDa6969

oCa nTie tDa6969

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Đã gửi 17-09-2020 - 20:46

BĐTVT: Trong ba số $a,b,c$ phải có một số không lớn hơn $1$. Giả sử $c\leq 1$.

Ta có: $P=bc+ca+ab-abc=ab(1-c)+c(a+b)>0$.

BĐTVP: Trong ba số $a-1;b-1;c-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử là $a-1$ và $b-1$

$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

$\Rightarrow P\leq bc+ca+ab-c(a+b-1)=ab+c$

Mặt khác, $4\geq c^{2}+ab(c+2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(ab+c-2)\leq 0$

$\Rightarrow ab+c\leq 2$

$\Rightarrow P\leq ab+c\leq 2$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

Anh giúp em câu 3, 4 đc không ạ 



#4 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 17-09-2020 - 21:36

4) Cho các số thực $a\leq b\leq c$ thỏa mãn $a+b+c=5 , a^2+b^2+c^2=11$. CMR$\frac{1}{3}\leq a \leq 1\leq b \leq \frac{7}{3}\leq c \leq 3$

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#5 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2020 - 22:55

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$

Làm sao để chứng minh $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$ ạ?


:mellow:  :mellow:  :mellow:


#6 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết

Đã gửi 18-09-2020 - 12:32

Làm sao để chứng minh $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$ ạ?

Có :$b+c=5-a$; $b^2+c^2=11-a^2$

và $$2(b^2+c^2)\geqslant (b+c)^2$$

hay $$2(11-a^2)\geqslant (5-a)^2$$.

Từ đây chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử chặn được $a$.

Tương tự với $b,c$


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#7 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Đã gửi 18-09-2020 - 18:31

Dễ thấy $a,b,c\in [\frac{1}{3};3]$. Ta có: $0=7-bc-ca-ab=7+a^{2}-2a(b+c)-(a-b)(a-c)=7+a^{2}-2a(5-a)-(a-b)(a-c)=(a-1)(3a-7)-(a-b)(a-c)\leq (a-1)(3a-7)$

Mà $a\leq \frac{5}{3}<\frac{7}{3}$ nên $a\leq 1$. Tương tự ta có $1\leq b\leq \frac{7}{3}\leq c$. $\square$

Anh rảnh thì anh vt hộ em đoạn tương tự ạ , em chưa hiểu lắm :))



#8 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 18-09-2020 - 21:12

Anh rảnh thì anh vt hộ em đoạn tương tự ạ , em chưa hiểu lắm :))

Tương tự, $(b-1)(3b-7)=(b-a)(b-c)\leq 0; (c-1)(3c-7)\geq 0$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh