Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

(Olympic toán)

Chứng minh:

$C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$


$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$


#2
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
đặt $A=(n+1)(n+2)...2n,B=(n+2)(n+3)...2n$ thì $A=(n+1)B$
$A\vdots n!\Rightarrow A=(n+1)B\vdots n$, mà (n,n+1)=1 nên $B\vdots n$
B là tích n-1 số liên tiếp nên chia hết cho $(n-1)!$
kết hợp lại thì B chia hết cho $(n-1)!\times n=n!$, đặt $B=n!\times C$
$\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+2)...2n}{n!}=(n+1)\frac{B}{n!}$
$=(n+1)C$ chia hết cho n+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-04-2023 - 19:52
Lỗi hiển thị LaTex


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

đặt $A=(n+1)(n+2)...2n,B=(n+2)(n+3)...2n$ thì $A=(n+1)B$
$A\vdots n!\Rightarrow A=(n+1)B\vdots n$, mà (n,n+1)=1 nên $B\vdots n$
B là tích n-1 số liên tiếp nên chia hết cho $(n-1)!$
kết hợp lại thì B chia hết cho $(n-1)!\times n=n!$, đặt $B=n!\times C$
$\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+2)...2n}{n!}=(n+1)\frac{B}{n!}$
$=(n+1)C$ chia hết cho n+1

Nếu $B=(n+2)(n+3)...2n$ thì dĩ nhiên $B\ \vdots\ n$ (cần gì phải lập luận lòng vòng)

Vấn đề là nếu $B\ \vdots\ n$ và $B\ \vdots\ (n-1)!$ thì có chắc là $B$ chia hết cho $(n-1)!\times n$ ?

Chẳng hạn, $600\ \vdots\ 6$ và $600\ \vdots\ 5!$ nhưng $600$ có chia hết cho $5!\times 6$ không ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

(Olympic toán)

Chứng minh:

$C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$

Ta có $(2n+1)C_{2n}^n=\frac{(2n+1)(2n)(2n-1)...(n+1)}{1.2.3...n}=(n+1)C_{2n+1}^{n+1}$

$\Rightarrow (2n+1)C_{2n}^n\ \vdots\ (n+1)$  $(1)$

Mặt khác, $(2n+1,n+1)=(n,n+1)=1$         $(2)$

$(1),(2)\Rightarrow C_{2n}^n\ \vdots \ (n+1)$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

$$\begin{align*} C^n_{2n} & = (n+1 - n)C^n_{2n} = (n+1)C^n_{2n} - nC^n_{2n} = (n+1)C^n_{2n} - n \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \\ & = (n+1)C^n_{2n} - (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(n-1)! \cdot (n+1)!} = (n+1)(C^n_{2n} - C^{n-1}_{2n}). \end{align*}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 19-04-2023 - 23:11

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh