(Olympic toán)
Chứng minh:
$C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$
(Olympic toán)
Chứng minh:
$C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-04-2023 - 19:52
Lỗi hiển thị LaTex
đặt $A=(n+1)(n+2)...2n,B=(n+2)(n+3)...2n$ thì $A=(n+1)B$
$A\vdots n!\Rightarrow A=(n+1)B\vdots n$, mà (n,n+1)=1 nên $B\vdots n$
B là tích n-1 số liên tiếp nên chia hết cho $(n-1)!$
kết hợp lại thì B chia hết cho $(n-1)!\times n=n!$, đặt $B=n!\times C$
$\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+2)...2n}{n!}=(n+1)\frac{B}{n!}$
$=(n+1)C$ chia hết cho n+1
Nếu $B=(n+2)(n+3)...2n$ thì dĩ nhiên $B\ \vdots\ n$ (cần gì phải lập luận lòng vòng)
Vấn đề là nếu $B\ \vdots\ n$ và $B\ \vdots\ (n-1)!$ thì có chắc là $B$ chia hết cho $(n-1)!\times n$ ?
Chẳng hạn, $600\ \vdots\ 6$ và $600\ \vdots\ 5!$ nhưng $600$ có chia hết cho $5!\times 6$ không ?
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
(Olympic toán)
Chứng minh:
$C_{2n}^n\vdots (n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*$
Ta có $(2n+1)C_{2n}^n=\frac{(2n+1)(2n)(2n-1)...(n+1)}{1.2.3...n}=(n+1)C_{2n+1}^{n+1}$
$\Rightarrow (2n+1)C_{2n}^n\ \vdots\ (n+1)$ $(1)$
Mặt khác, $(2n+1,n+1)=(n,n+1)=1$ $(2)$
$(1),(2)\Rightarrow C_{2n}^n\ \vdots \ (n+1)$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
$$\begin{align*} C^n_{2n} & = (n+1 - n)C^n_{2n} = (n+1)C^n_{2n} - nC^n_{2n} = (n+1)C^n_{2n} - n \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} \\ & = (n+1)C^n_{2n} - (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(n-1)! \cdot (n+1)!} = (n+1)(C^n_{2n} - C^{n-1}_{2n}). \end{align*}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 19-04-2023 - 23:11
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh