Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{1+x}{y+z} \le 2 \sum \frac{x}{z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 KemQue

KemQue

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 16-09-2020 - 11:02

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{1+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\le 2\left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \right)$           

 



#2 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1k24-THPT chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:sunny day

Đã gửi 16-09-2020 - 19:42

Ta có:$\sum \frac{1+x}{y+z}\geq 2\sum \frac{x}{z} < = > 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x})\geq\sum \frac{2x+y+z}{y+z} < = > \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\geq \sum \frac{x}{y+z}+\frac{3}{2} < = > \sum (\frac{x}{z}-\frac{x}{y+z})\geq \frac{3}{2} < = >\sum \frac{xy}{z(y+z)}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đảng thức Cauchy Scharwz:

$\sum \frac{xy}{z(y+z)}=\sum \frac{x^2y^2}{xyz(y+z)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{2}$

Ta suy ra được đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocthai0974767675: 16-09-2020 - 19:43

             We are constantly working on bigger and better projects


#3 Syndycate

Syndycate

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 459 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{C.Toán-CNT}}$

Đã gửi 16-09-2020 - 21:15

Đây là câu bất trong đề chọn đội tuyển của Đắk Lắk vừa rồi 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 16-09-2020 - 22:09





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh