Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$

toán 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 nON

nON

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 17-09-2020 - 15:38

1. Cho $a,b,c>0.$ CM:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z+2=xyz.$ Chứng minh $x+y+z+6\geqslant 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

 

______________________________________________________________________________________

@tthnew Đối với những tiêu đề không quá dài bạn có thể đánh $\LaTeX$ lên tiêu đề cho đẹp nhé :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 17-09-2020 - 18:21

     Bạn bè không quan trọng đứa nào giúp đứa nào nhiều hơn.

     Quan trọng là lúc khó còn có đứa nào không? :D  :D  :D 


#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 17-09-2020 - 18:20

1.Cho a,b,c>0.CM:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

BĐT tương đương với:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^{2}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$VT=\frac{a+b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{(a+b)^{2}}{b(a+b)}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{ca}\geq \frac{[(a+b)+b+c]^{2}}{b(a+b)+bc+ca}=VP$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 17-09-2020 - 18:30

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z+2=xyz.$ Chứng minh $x+y+z+6\geqslant 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

Giả thiết tương đương với:

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$

Đặt $a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}$. Khi đó:

$x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}$

BĐT trở thành:

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+6\geq 2[\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{bc}}+\sqrt{\frac{(b+c)(b+a)}{ca}}+\sqrt{\frac{(c+a)(c+b)}{ab}}]$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$VP\leq (\frac{a+b}{b}+\frac{a+c}{c})+(\frac{b+c}{c}+\frac{b+a}{a})+(\frac{c+a}{a}+\frac{c+b}{b})=VT$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $x=y=z=2$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#4 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 17-09-2020 - 18:35

1. Cho $a,b,c>0.$ CM:$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$

 

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

$$\dfrac{1}{3}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{3}{a}^{2}+\dfrac{1}{6}{c}^{2}{b}^{3} \geqslant a^2 b^2 c,$$

$$\dfrac{1}{2}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{4}a+{c}^{3}{b}^{2} \geqslant 2b^2 c^2 a,$$

$$\dfrac{1}{6}{a}^{3}{c}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{3}{a}^{2}+\dfrac{1}{2}{b}^{4}a+\dfrac{5}{6}{c}^{2}{b}^ {3}\geqslant 2{b}^{3}ca.$$

 

Cộng theo vế $3$ bất đẳng thức trên ta thu được đpcm.

 

PS. Nãy đăng trên blog https://t-t-h-n-e-w....20/09/1792.html giờ đăng lại :)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 9

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh