Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\leq3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 18-09-2020 - 19:38

1) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=abc.$ CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\leq3$

2) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc \geq 1.$ CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 18-09-2020 - 20:36


#2 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 18-09-2020 - 20:40

1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=abc.$ CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\leq3$

Đề bài này nên là $ab+bc+ca=3abc$ thì mới xảy ra dấu đẳng thức.

 

Lời giải. Do $a^2 -ab+b^2 \geqslant \dfrac{1}{4} (a+b)^2;.. \Rightarrow \text{Vế trái} \leqslant 2\sum \dfrac{1}{a+b} \leqslant \sum \dfrac{1}{a}=3$


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 19-09-2020 - 15:52

2) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc \geq 1.$ CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ta chứng minh trong trường hợp $abc=1$ là đủ. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$VT^{2}\leq 3(\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3})$

Cần chứng minh: $P=\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

Ta có: $P=\sum \frac{1}{(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{ab+a+1})=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#4 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 20-09-2020 - 08:33

Hay quấ anh

 

Ta chứng minh trong trường hợp $abc=1$ là đủ. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$VT^{2}\leq 3(\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3})$

Cần chứng minh: $P=\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

Ta có: $P=\sum \frac{1}{(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{ab+a+1})=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh