1. Cho $\alpha$ là một góc cho trước. Tìm các giới hạn sau:
$L=\lim_{n \to +\infty }(sin^{3}\frac{\alpha }{3}+3sin^{3}\frac{\alpha }{3^{2}}+3^{2}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{3}}+...+3^{n-1}sin^{3}\frac{\alpha }{3^{n}})$
2.Cho $a,b$ là những số cho trước. Tìm các giới hạn sau:
$L=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(cosax)}{ln(cosbx)}$
Câu 2: Xét $a,b \ne 0$
$\displaystyle L=\lim_{x\to 0} \frac{ln(cosax)}{ln(cosbx)}=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1+cosax-1)}{ln(1+cosbx-1)}$
Khi $x \rightarrow 0$ thì $cosax -1 \rightarrow 0$ nên $ln(1+cosax-1) \sim cosax-1$, khi $x \rightarrow 0$
Tương tự Khi $x \rightarrow 0$ thì $cosbx -1 \rightarrow 0$ nên $ln(1+cosbx-1) \sim cosbx-1$, khi $x \rightarrow 0$
$\Rightarrow L=\lim_{x \to 0 }\frac{ln(1+cosax-1)}{ln(1+cosbx-1)}= \lim_{x \to 0 }\frac{cosax-1}{cosbx-1}=\lim_{x \to 0 }\frac{-(cosax-1)}{-(cosbx-1)}=\lim_{x \to 0 }\frac{1-cosax}{1-cosbx}$
Khi $x \rightarrow 0$ thì $ax \rightarrow 0$ nên $ 1-cosax \sim \dfrac{1}{2}(ax)^2$, khi $x \rightarrow 0$
Khi $x \rightarrow 0$ thì $bx \rightarrow 0$ nên $ 1-cosbx \sim \dfrac{1}{2}(bx)^2$, khi $x \rightarrow 0$
Nên $L=\lim_{x \to 0 }\dfrac{1/2(ax)^2}{1/2(bx)^2}=\lim_{x \to 0 }\dfrac{a^2x^2}{b^2x^2}=\dfrac{a^2}{b^2}.$
Với $a=0, b\ne 0$ thì $L=0$ còn với $b=0$ thì $L $ không tồn tại.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 22-04-2023 - 10:59