Chủ đề này có 15 trả lời

[ThIsMe]

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 18-09-2020 - 21:25

[PDF]

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

Phản ví dụ: $a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-09-2020 - 18:52

[PDF]

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

Gợi ý: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

[PDF]

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

BĐT tương đương với: $\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq 3$

Sử dụng nguyên lý Dirichlet và BĐT Cauchy-Schwarz

[ThIsMe]

Phản ví dụ: $a=b=c=\frac{2}{3}$

Khi đó $\sum a^2=2$ đâu ạ?

[Tan Thuy Hoang]

 

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

 

Chọn bài dễ nhất .

Đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y})$.

Ta có: $a+b+c=\frac{\sum x^3+\sum x^2y+\sum xy^2+3xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)};2\sum ab=2\frac{\sum x^2y+\sum xy^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

BĐT đúng theo Schur.

[Tan Thuy Hoang]

Khi đó $\sum a^2=2$ đâu ạ?

Hình như anh PDF đánh nhầm. Chắc là $a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}}$.

[ThIsMe]

Chọn bài dễ nhất .

Đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y})$.

Ta có: $a+b+c=\frac{\sum x^3+\sum x^2y+\sum xy^2+3xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)};2\sum ab=2\frac{\sum x^2y+\sum xy^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

BĐT đúng theo Schur.

Mong bạn giúp tiếp

[ThIsMe]

Gợi ý: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

 

 

BĐT tương đương với: $\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq 3$

Sử dụng nguyên lý Dirichlet và BĐT Cauchy-Schwarz

Làm thế nào ạ, em không nghĩ ra

[oCa nTie tDa1]

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Bài 6 : Sử dụng ngược dấu để đưa về đúng chiều sau đó đánh giá mẫu là xong với chú ý $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$

[oCa nTie tDa1]

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Bài 4 bạn tách bình phương trong ngoặc rồi đặt đó là x,y,z thì bài toán trở về dạng quen thuộc

[oCa nTie tDa1]

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Cách khác cho bài 5 (sử dụng tạo tích) : BĐT cần cm <=> $\sum a +4abc\geq2$ .Giả sử $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})\geq 0$ <=> $ab\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4}$

<=>$4abc\geq2ac+2bc-c$.BĐT CẦN CM TRỞ THÀNH $\sum a+2ac+2bc-c\geq2$ hay $(2c+1)(a+b)\geq 2$

Ta có : $1=\sum ab +2abc\leq \frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c\frac{(a+b)^2}{4}$ <=> $(2-a-b)(2+a+b)\leq2c(a+b)(2+a+b)$ đến đay thì xong r nhá 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oCa nTie tDa1: 20-09-2020 - 07:52

[ThIsMe]

Cách khác cho bài 5 (sử dụng tạo tích) : BĐT cần cm <=> $\sum a +4abc\geq2$ .Giả sử $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})\geq 0$ <=> $ab\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4}$

<=>$4abc\geq2ac+2bc-c$.BĐT CẦN CM TRỞ THÀNH $\sum a+2ac+2bc-c\geq2$ hay $(2c+1)(a+b)\geq 2$

Ta có : $1=\sum ab +2abc\leq \frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c\frac{(a+b)^2}{4}$ <=> $(2-a-b)(2+a+b)\leq2c(a+b)(2+a+b)$ đến đay thì xong r nhá 

 

 

Bài 6 : Sử dụng ngược dấu để đưa về đúng chiều sau đó đánh giá mẫu là xong với chú ý $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$

Bạn có thể giúp tiếp không??

[PDF]

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$

Lời giải khác cho bài 5: Giả thiết đã cho tương đương với: $\sum \frac{a}{a+1}=1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $1=\sum \frac{a}{a+1}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a^{2}+\sum a}$

$\Rightarrow \sum a\geq 2(\sum bc)$

Đây chính là đpcm. $\square$

[PDF]

Làm thế nào ạ, em không nghĩ ra

Bài 2: KMTTQ, g/sử $(y+1)(z+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow y^{2}+z^{2}\leq x^{2}+4x+5$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{y^{2}+z^{2}+2(y+z)+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x+2}=3+\frac{2x^{2}(x+1)^{2}}{(x^{2}+2x+2)(2x^{2}+4x+3)}\geq 3$

Đây là đpcm. $\square$

[PDF]

Bài 2: KMTTQ, g/sử $(y+1)(z+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow y^{2}+z^{2}\leq x^{2}+4x+5$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{y^{2}+z^{2}+2(y+z)+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x+2}=3+\frac{2x^{2}(x+1)^{2}}{(x^{2}+2x+2)(2x^{2}+4x+3)}\geq 3$

Đây là đpcm. $\square$

Bài toán tương tự: Cho $a,b,c\in \mathbb{R}: a+b+c=1$. CMR:

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-09-2020 - 18:06