Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[Topic] Tổng hợp các bài chứng minh BĐT bằng phương pháp tạo tích

cần gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 18-09-2020 - 21:23

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThIsMe: 18-09-2020 - 21:25

#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 19-09-2020 - 16:14

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

Phản ví dụ: $a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-09-2020 - 18:52

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#3 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 19-09-2020 - 16:16

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

Gợi ý: Sử dụng nguyên lý Dirichlet


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#4 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 19-09-2020 - 16:30

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

BĐT tương đương với: $\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq 3$

Sử dụng nguyên lý Dirichlet và BĐT Cauchy-Schwarz


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#5 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 19-09-2020 - 19:45

Phản ví dụ: $a=b=c=\frac{2}{3}$

Khi đó $\sum a^2=2$ đâu ạ?


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#6 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 19-09-2020 - 19:52

 

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

 

Chọn bài dễ nhất :D.

Đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y})$.

Ta có: $a+b+c=\frac{\sum x^3+\sum x^2y+\sum xy^2+3xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)};2\sum ab=2\frac{\sum x^2y+\sum xy^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

BĐT đúng theo Schur.



#7 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 19-09-2020 - 19:56

Khi đó $\sum a^2=2$ đâu ạ?

Hình như anh PDF đánh nhầm. Chắc là $a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}}$.


  • PDF yêu thích

#8 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 19-09-2020 - 20:09

Chọn bài dễ nhất :D.

Đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z};\frac{y}{z+x};\frac{z}{x+y})$.

Ta có: $a+b+c=\frac{\sum x^3+\sum x^2y+\sum xy^2+3xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)};2\sum ab=2\frac{\sum x^2y+\sum xy^2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$.

BĐT đúng theo Schur.

Mong bạn giúp tiếp


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#9 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 19-09-2020 - 20:55

Gợi ý: Sử dụng nguyên lý Dirichlet

 

 

BĐT tương đương với: $\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq 3$

Sử dụng nguyên lý Dirichlet và BĐT Cauchy-Schwarz

Làm thế nào ạ, em không nghĩ ra


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#10 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 20-09-2020 - 07:41

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Bài 6 : Sử dụng ngược dấu để đưa về đúng chiều sau đó đánh giá mẫu là xong với chú ý $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$



#11 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 20-09-2020 - 07:43

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Bài 4 bạn tách bình phương trong ngoặc rồi đặt đó là x,y,z thì bài toán trở về dạng quen thuộc



#12 oCa nTie tDa1

oCa nTie tDa1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Đã gửi 20-09-2020 - 07:52

1. Cho $a,b,c$ dương với $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng $(2-ab)(2-bc)(2-ca) \geqslant 1$.

2. Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $\sum x =-3$. CMR: $\sum \frac{x^2}{2x^2+4x+3} \leqslant 3$.

3. Cho $a,b,c$ không âm với $\sum a^2=2$. CMR: $\sum ab^2 \leqslant 2 +abc$.

4. Cho $a,b,c$ thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR: $(4a^2-12a+11)(4b^2-12b+11)(4c^2-12c+11) \geqslant 27$.

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$.

6. Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $\sum \frac{a}{b^4+16} \geqslant \frac{5}{32}$.

MONG CÁC BẠN NHIỆT TÌNH GIẢI BÀI!!!!!

Cách khác cho bài 5 (sử dụng tạo tích) : BĐT cần cm <=> $\sum a +4abc\geq2$ .Giả sử $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})\geq 0$ <=> $ab\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4}$

<=>$4abc\geq2ac+2bc-c$.BĐT CẦN CM TRỞ THÀNH $\sum a+2ac+2bc-c\geq2$ hay $(2c+1)(a+b)\geq 2$

Ta có : $1=\sum ab +2abc\leq \frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c\frac{(a+b)^2}{4}$ <=> $(2-a-b)(2+a+b)\leq2c(a+b)(2+a+b)$ đến đay thì xong r nhá 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi oCa nTie tDa1: 20-09-2020 - 07:52


#13 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Đã gửi 20-09-2020 - 16:54

Cách khác cho bài 5 (sử dụng tạo tích) : BĐT cần cm <=> $\sum a +4abc\geq2$ .Giả sử $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})\geq 0$ <=> $ab\geq \frac{a}{2}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4}$

<=>$4abc\geq2ac+2bc-c$.BĐT CẦN CM TRỞ THÀNH $\sum a+2ac+2bc-c\geq2$ hay $(2c+1)(a+b)\geq 2$

Ta có : $1=\sum ab +2abc\leq \frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c\frac{(a+b)^2}{4}$ <=> $(2-a-b)(2+a+b)\leq2c(a+b)(2+a+b)$ đến đay thì xong r nhá 

 

 

Bài 6 : Sử dụng ngược dấu để đưa về đúng chiều sau đó đánh giá mẫu là xong với chú ý $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$

Bạn có thể giúp tiếp không??


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#14 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 20-09-2020 - 17:02

5. Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. CMR: $\sum a \geqslant 2\sum ab$

Lời giải khác cho bài 5: Giả thiết đã cho tương đương với: $\sum \frac{a}{a+1}=1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $1=\sum \frac{a}{a+1}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a^{2}+\sum a}$

$\Rightarrow \sum a\geq 2(\sum bc)$

Đây chính là đpcm. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#15 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 20-09-2020 - 17:32

Làm thế nào ạ, em không nghĩ ra

Bài 2: KMTTQ, g/sử $(y+1)(z+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow y^{2}+z^{2}\leq x^{2}+4x+5$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{y^{2}+z^{2}+2(y+z)+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x+2}=3+\frac{2x^{2}(x+1)^{2}}{(x^{2}+2x+2)(2x^{2}+4x+3)}\geq 3$

Đây là đpcm. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#16 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 20-09-2020 - 17:54

Bài 2: KMTTQ, g/sử $(y+1)(z+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow y^{2}+z^{2}\leq x^{2}+4x+5$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{y^{2}+z^{2}+2(y+z)+3}\geq \frac{(2x+3)^{2}}{2x^{2}+4x+3}+\frac{2x^{2}}{x^{2}+2x+2}=3+\frac{2x^{2}(x+1)^{2}}{(x^{2}+2x+2)(2x^{2}+4x+3)}\geq 3$

Đây là đpcm. $\square$

Bài toán tương tự: Cho $a,b,c\in \mathbb{R}: a+b+c=1$. CMR:

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-09-2020 - 18:06

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh