Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-06-2023 - 19:09
Tiêu đề & LaTeX
$x + y + z = 1$. Tìm GTLN của $P = \sum x\sqrt{\frac{7y}{3x+4z}}$
#1
Đã gửi 01-06-2023 - 16:53
- thanhng2k7, ThienDuc1101 và Leonguyen thích
N.K.S - Learning from learners!
#2
Đã gửi 01-06-2023 - 22:04
Bài này là bài thi KT kiến thức toán 9 trường KHTN đợt 4 vòng 1 thì phải:
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$P^{2}\leq 7(xy+yz+xz)\left ( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right )$(1)
Đặt $a=x^{2}+y^{2}+z^{2},b=xy+yz+xz$ thì $b\leq \frac{1}{3}$
Xét:$ \frac{4z}{3x+4z}+\frac{4x}{3y+4x}+\frac{4y}{3z+4y}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$ = \frac{4z^{2}}{3xz+4z^{2}}+\frac{4x^{2}}{3xy+4x^{2}}+\frac{4y^{2}}{3yz+4y^{2}}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3(xy+yz+xz)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$= \frac{4}{3b+4a}+\frac{3}{7b}$
$= \frac{16}{4(3b+4a)}+\frac{9}{21b} \geq \frac{49}{16a+33b}=\frac{49}{16+b}\geq 3$
$\Rightarrow \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y}\leq \frac{1}{ 7(xy+yz+xz)}$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\leq 1$
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$(thoả mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 02-06-2023 - 10:36
- ThienDuc1101, Leonguyen, QuocMinh2k8 và 1 người khác yêu thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#3
Đã gửi 02-06-2023 - 19:46
Bài này là bài thi KT kiến thức toán 9 trường KHTN đợt 4 vòng 1 thì phải:
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$P^{2}\leq 7(xy+yz+xz)\left ( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right )$(1)
Đặt $a=x^{2}+y^{2}+z^{2},b=xy+yz+xz$ thì $b\leq \frac{1}{3}$
Xét:$ \frac{4z}{3x+4z}+\frac{4x}{3y+4x}+\frac{4y}{3z+4y}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$ = \frac{4z^{2}}{3xz+4z^{2}}+\frac{4x^{2}}{3xy+4x^{2}}+\frac{4y^{2}}{3yz+4y^{2}}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3(xy+yz+xz)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$= \frac{4}{3b+4a}+\frac{3}{7b}$
$= \frac{16}{4(3b+4a)}+\frac{9}{21b} \geq \frac{49}{16a+33b}=\frac{49}{16+b}\geq 3$
$\Rightarrow \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y}\leq \frac{1}{ 7(xy+yz+xz)}$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\leq 1$
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$(thoả mãn)
Mk tưởng (1) là Bunhia... cho 3 số?
"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".
Albert Einstein
#4
Đã gửi 02-06-2023 - 21:22
- QuocMinh2k8 yêu thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh