Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.

[hxthanh]

Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.

\begin{align*}
\sum_{0\le 3k\le 50}\left((51-3k)(3k+1)\right)&=159\sum_{k=0}^{16}\left({k+1\choose 2}-{k\choose 2}\right)\\&\;\;-18\sum_{k=0}^{16}\left({k+2\choose 3}-{k+1\choose 3}\right)\\&\;\;+51\sum_{k=0}^{16}\left({k+1\choose 1}-{k \choose 1}\right)\\
&=159{17\choose 2}-18{18\choose 3}+51{17\choose 1}\\
&=7803
\end{align*}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 23-04-2023 - 11:45
Thay $(k+1)$ bởi $(3k+1)$

[chanhquocnghiem]

Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.

Đặt $y_i=x_i+1\Rightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=54$ ($y_i> 0$)
Ta có $\left\{\begin{matrix}y_1+y_2=3k+1\\y_3+y_4=53-3k\\k\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$
Số nghiệm của hệ này là :
$M=C_3^1C_{49}^1+C_6^1C_{46}^1+C_9^1C_{43}^1+...+C_{51}^1C_1^1=\sum_{k=1}^{17}3k(52-3k)$
$=17.26^2-(1^2+2^2+3^2+...+25^2)+(3^2+6^2+9^2+...+24^2)=$
$=17.26^2-\frac{25.26.51}{6}+9.\frac{8.9.17}{6}=7803$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-04-2023 - 10:05

[hxthanh]

Xin lỗi bài trên mình nhầm chút. Phải là
$\sum_{k=0}^{16}((51-3k)(3k+1))$
Cảm ơn @chanhquocnghiem

[Nobodyv3]

Xét phương trình $x_3+x_4=k$ với $x_3+x_4$ chia hết cho 3, ta thấy khi $k$ lần lượt có các giá trị $ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...$ thì pt có số nghiệm tương ứng là $1,0,0,4,0,0,7,0,0,10,...$, tức là khi $k$ chia hết cho 3 thì số nghiệm là $k+1$, ngược lại thì bằng 0. Vậy ta có hàm sinh :
$$\sum_{k\geq 0}(3k+1)x^{3k}=3\sum_{k\geq 0}kx^{3k}+\sum_{k\geq 0}x^{3k}=\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}$$
Cho nên hàm sinh cho số nghiệm của bài toán là :
$f(x)=\left (\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}\right) \frac {1}{(1-x)^2}$
$\Rightarrow [x^{50}]f(x)=\boldsymbol {7803}$