Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.
Tính số nghiệm nguyên không âm của $$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
Bắt đầu bởi Nobodyv3, 23-04-2023 - 06:37
#1
Đã gửi 23-04-2023 - 06:37
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 23-04-2023 - 08:02
\begin{align*}Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.
\sum_{0\le 3k\le 50}\left((51-3k)(3k+1)\right)&=159\sum_{k=0}^{16}\left({k+1\choose 2}-{k\choose 2}\right)\\&\;\;-18\sum_{k=0}^{16}\left({k+2\choose 3}-{k+1\choose 3}\right)\\&\;\;+51\sum_{k=0}^{16}\left({k+1\choose 1}-{k \choose 1}\right)\\
&=159{17\choose 2}-18{18\choose 3}+51{17\choose 1}\\
&=7803
\end{align*}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 23-04-2023 - 11:45
Thay $(k+1)$ bởi $(3k+1)$
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#3
Đã gửi 23-04-2023 - 09:26
Đặt $y_i=x_i+1\Rightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=54$ ($y_i> 0$)Tính số nghiệm nguyên không âm của
$$x_1+x_2+x_3+x_4=50$$
trong đó $x_3+x_4$ chia hết cho 3.
Ta có $\left\{\begin{matrix}y_1+y_2=3k+1\\y_3+y_4=53-3k\\k\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$
Số nghiệm của hệ này là :
$M=C_3^1C_{49}^1+C_6^1C_{46}^1+C_9^1C_{43}^1+...+C_{51}^1C_1^1=\sum_{k=1}^{17}3k(52-3k)$
$=17.26^2-(1^2+2^2+3^2+...+25^2)+(3^2+6^2+9^2+...+24^2)=$
$=17.26^2-\frac{25.26.51}{6}+9.\frac{8.9.17}{6}=7803$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-04-2023 - 10:05
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 23-04-2023 - 09:46
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#5
Đã gửi 23-04-2023 - 13:21
Xét phương trình $x_3+x_4=k$ với $x_3+x_4$ chia hết cho 3, ta thấy khi $k$ lần lượt có các giá trị $ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...$ thì pt có số nghiệm tương ứng là $1,0,0,4,0,0,7,0,0,10,...$, tức là khi $k$ chia hết cho 3 thì số nghiệm là $k+1$, ngược lại thì bằng 0. Vậy ta có hàm sinh :
$$\sum_{k\geq 0}(3k+1)x^{3k}=3\sum_{k\geq 0}kx^{3k}+\sum_{k\geq 0}x^{3k}=\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}$$
Cho nên hàm sinh cho số nghiệm của bài toán là :
$f(x)=\left (\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}\right) \frac {1}{(1-x)^2}$
$\Rightarrow [x^{50}]f(x)=\boldsymbol {7803}$
$$\sum_{k\geq 0}(3k+1)x^{3k}=3\sum_{k\geq 0}kx^{3k}+\sum_{k\geq 0}x^{3k}=\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}$$
Cho nên hàm sinh cho số nghiệm của bài toán là :
$f(x)=\left (\frac{3x^3}{(1-x^3)^2}+\frac{1}{1-x^3}\right) \frac {1}{(1-x)^2}$
$\Rightarrow [x^{50}]f(x)=\boldsymbol {7803}$
- hxthanh và chanhquocnghiem thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh