Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất để $x^{3}-k(x+1)+1=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho phương trình sau có đúng 2 nghiệm phân biệt: $x^{3}-k(x+1)+1=0$

nếu đề bài sai mong mọi người sửa lại hộ mình,quên đề bài rồi :(  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-04-2023 - 17:22
Tiêu đề & LaTeX

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết
Khi đó theo định lý Viét cho phương trình bậc 3 thì $\begin{align} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_3x_2=-k \\ x_1x_2x_3=1-k \end{align}$.
Vì phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt nên không mất tính tổng quát thì $x_1=x_2 \neq x_3$.
Khi đó $\begin{cases} x_1^2+2x_1x_3=-k \\ x_3+2x_1=0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1^2+2x_1(-2x_1)=-k \\ x_3=-2x_1 \end{cases}$ $\implies \begin{cases} (x_1-2)^2=4-k \ge 0 \\ x_3=-2x_1 \end{cases}$. Khi đó $k \le 4 \implies k\in\{1;2;3;4\}$. Bằng thử trực tiếp, ta thấy $k \in \{3;1\}$ thì có 2 nghiệm phân biệt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 16-02-2024 - 23:13
Sửa LaTeX


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Vì phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt nên không mất tính tổng quát thì $x_1=x_2 \neq x_3$

Cấp 2 có thể chứng minh được mệnh đề này không nhỉ?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#4
habcy12345

habcy12345

    Binh nhất

  • Hái lộc VMF 2024
  • 27 Bài viết

Bằng thử trực tiếp, ta thấy $k \in \{3;1\}$ thì có 2 nghiệm phân biệt

Hình như $k=1, k=3$ cũng không thoả thì phải. Do bài này của THCS nên không cần dùng Viète cho pt b3 đâu. Mình xin trình bày cách khác:
Phương trình ban đầu tương đương với $(x+1)(x^2-x+1-k)=0$.
Do phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt nên phương trình $x^2-x+1-k=0$ phải có nghiệm kép khác $-1$.
$\Rightarrow\begin{cases}
(-1)^2-(-1)+1-k\ne 0\\
\Delta =1-4(1-k)=0
\end{cases}\Leftrightarrow k=\frac{3}{4}$ (vô lí).

#5
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Khi đó theo định lý Viét cho phương trình bậc 3 thì $\begin{align} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1x_2+x_1x_3+x_3x_2=-k \\ x_1x_2x_3=1-k \end{align}$.
Vì phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt nên không mất tính tổng quát thì $x_1=x_2 \neq x_3$.
Khi đó $\begin{cases} x_1^2+2x_1x_3=-k \\ x_3+2x_1=0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1^2+2x_1(-2x_1)=-k \\ x_3=-2x_1 \end{cases}$ $\implies \begin{cases} (x_1-2)^2=4-k \ge 0 \\ x_3=-2x_1 \end{cases}$. Khi đó $k \le 4 \implies k\in\{1;2;3;4\}$. Bằng thử trực tiếp, ta thấy $k \in \{3;1\}$ thì có 2 nghiệm phân biệt

Theo mình thì $x_1x_2x_3=k-1$ chứ nhỉ 


Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh