Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$,$AD$ cắt $BC$ tại $Q$,$AC$ cắt $BD$ tại $P$.$(PAD)$ cắt $PQ$ tại $S$.$M,N$ là trung điểm $AD,BC$;$MN$ cắt $BD,AC$ tại $E,F$
a,Gọi $r$ là bán kính $(QMN)$.Chứng minh $AS+OS \leq 2r\sqrt{2} $
b,Gọi $H$ là hình chiếu của $P$ lên $CD$.Chứng minh $CHFN$ nội tiếp và $\widehat{MHN}=\widehat{APB}$
c,Chứng minh $(QMN)$ tiếp xúc $(PEF)$
Một bài hình khá hay mà mình tìm ra trong lúc nghịch GSP5,thế mà nghĩ mãi ko ra câu b
Một bài toán rất hay và thực sự khó. Dưới đây là lời giải cho câu b). Chứng minh không được tốt lắm vì dựa nhiều vào hình vẽ cụ thể và cũng chưa xử lý được các trường hợp đặc biệt, nhưng thôi, cũng tạm chấp nhận vậy.
Chìa khoá để giải quyết bài toán này chính là Theorem. Bản thân nó có thể tách ra thành một bài toán riêng cũng rất hay. Mình từng giải bài này trên báo, nhưng lâu lắm rồi nên không nhớ lắm. Đành phải ngồi tìm tòi giải lại.
Trong Mệnh đề 4, mình có gọi thêm hai điểm phụ và đặt tên là E' và F', lý do vì mình dự đoán EE' vuông góc BD và FF' vuông góc AC. Câu c) mình dự đoán là (PEF) và (QMN) tiếp xúc nhau tại điểm S được xác định như trong hình.
Điểm S là một điểm vô cùng đặc biệt. Trong quá trình giải mình tìm ra được tầm 12 đường tròn cùng đi qua điểm này.
Lời giải. Gọi R là giao điểm AB và CD. $RR_{1}$ và $RR_{2}$ là hai tiếp tuyến kẻ từ R tới đường tròn (O). S là giao điểm của OR và $R_{1}R_{2}.$ Ta lần lượt xét các mệnh đề.
Vì tứ giác $SMDH$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SHM=\angle SDA.$ Vì tứ giác $SPAD$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SDA=\angle APQ.$ Vậy $\angle SHM=\angle APQ.$ Chứng minh tương tự $\angle SHN=\angle BPQ.$ Vậy $\angle MHN=\angle SHM+\angle SHN=\angle APQ+\angle BPQ=\angle APB.$ Đây là điều phải chứng minh.
Edited by HaiDangPham, 09-05-2023 - 01:27. Trình bày LaTeX
Bài viết này mình chứng minh nốt câu c) của bài toán ban đầu là đường tròn $(QMN)$ tiếp xúc với đường tròn $PEF$. Với mình, câu c) này khó và hay hơn. Để chứng minh nó mình cần sử dụng tất cả 4 mệnh đề đầu đã được chứng minh của bài viết trước.
Qua $P$ kẻ đường thẳng vuông góc với $PR$ cắt $OR$ tại $S^*$. Ta lần lượt xét tiếp các mệnh đề sau.
Chứng minh. Vì tứ giác $OSCD$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle OSC=\angle ODC$.
Vì tam giác $ODC$ cân tại $O$ nên $\angle ODC=90^{\circ}- \frac{DOC}{2}=90^{\circ}-\angle DAC.$
Do đó $\angle OSC=90^{\circ}-\angle DAC.$
Vì tứ giác $PSDA$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle PSA=\angle PDA=\angle ACQ.$
Hơn nữa, $PQ$ vuông góc $OR$ tại $S$ (Theorem) nên
Tương tự ta chứng minh được tứ giác $SBQD$ nội tiếp.
Chứng minh. Vì tứ giác $SMQN$ nội tiếp nên $\angle SME=\angle SMN=\angle SQN.$
Vì tứ giác $SAQC$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SQN=\angle SQC=\angle SAC.$
Vì tứ giác $PSDA$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SAC=\angle SAP=\angle SDP=\angle SDE.$
Như vậy $\angle SME=\angle SDE.$ Chứng tỏ $EMDS$ là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có $FNCS$ là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh. Vì $EMDS$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SEF=\angle SDM=\angle SDA.$
Vì $PSDA$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SDA=\angle SPF.$
Do đó $\angle SEF=\angle SPF$ và ta có tứ giác $SEPF$ nội tiếp hay $S$ thuộc đường tròn $(PEF).$
Chứng minh. Vì $PS^*$ vuông góc $PR$ và $PQ$ vuông góc $OR$ tại $S$ (Theorem) nên $\angle PS^*S=\angle SPR.$
Vì tứ giác $PSHR$ nội tiếp nên $\angle SPR=\angle SHC.$
Vì tứ giác $EMDS$ nội tiếp (Theorem) và $SMDH$ nội tiếp (Theorem) nên $\angle SHC=\angle SED.$
Do đó $\angle PS^*S=\angle SED.$
Suy ra tứ giác $SEPS^*$ nội tiếp.
Mà $S$ thuộc đường tròn $(PEF)$ (Theorem) nên $S^*$ thuộc đường tròn $(PEF).$
Chứng minh. Vì $S^*$ thuộc đường tròn $(PEF)$ (Theorem) và $PSS^*=90^{\circ}$ (Theorem) nên $PS^*$ là đường kính đường tròn $(PEF).$
Hơn nữa, do $\angle QSO=90^{\circ}$ (Theorem) nên $OQ$ là đường kính đường tròn $(QMN).$
Gọi $I$ là tâm đường tròn $(PEF)$ và $O'$ là tâm đường tròn $(QMN).$
Khi đó $I$ là trung điểm của $PS^*$ và $O'$ là trung điểm $OQ.$
Ta lại có $PS^* \perp PR$ và $OQ \perp PR$ (Theorem) nên $PS^* \parallel OQ.$
Từ đó ta dễ dàng suy ra $S, I, O'$ thẳng hàng.
Mà $S$ thuộc đường tròn $(PEF)$ (Theorem) và $S$ cũng thuộc đường tròn $(QMN)$, điều đó chứng tỏ đường tròn $(QMN)$ tiếp xúc đường tròn $(PEF)$ tại $S.$ Đây là điều phải chứng minh.