Bài này mình có thể khai triển theo bổ đề Burnside được không thầy.
Ý kiến không tệ chút nào!
Nếu các bộ nguyên dương có tổng bằng $n$ được phân loại thành:
$A=\{(a,b,c,d,e\};\;A_2=\{(a,a,b,c,d)\};\;$
$A_{22}=\{(a,a,b,b,c)\};\;A_{23}=\{(a,a,b,b,b)\};\;$
$A_3=\{(a,a,a,b,c)\};\;A_4=\{(a,a,a,a,b)\};\;$
$A_5=\{(a,a,a,a,a)\}$
thì theo bổ đề Burnside sẽ có:
$$|S|=\frac{|A|+10|A_2|+15|A_{22}|+20|A_{23}|+20|A_3|+30|A_4|+24|A_5|}{5!}$$
Các hệ số ở trên được tính bằng:
$\frac{5!}{(\text{số phần tử giống})(\text{số phần tử khác})!(\text{số bộ giống nhau})!}$
Ví dụ hệ số của $|A_2|$ là $\frac{5!}{2.3!}=10$,
hệ số của $|A_{22}|=\frac{5!}{2.2.1!2!}=15$, v.v…
Tiếp theo, ta tính:
$|A|={n-1\choose 4}$
$|A_2|=\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor}\sum_{k=2}^{n-1-2a}(k-1)=…$ (tính cụ thể sau)
$|A_{22}|=\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor}\left\lfloor\frac{n-1-2a}{2}\right\rfloor=\frac{1}{2}\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$
$|A_{23}|=\begin{cases}\left\lfloor\frac{n-2}{6}\right\rfloor\quad\text{nếu n chẵn}\\ \left\lfloor\frac{n+1}{6}\right\rfloor\quad\text{nếu n lẻ}\end{cases}$
$|A_3|=\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n-2}{3}\right\rfloor}(n-1-3a)=…$
$|A_4|=\left\lfloor\frac{n-1}{4}\right\rfloor$
$|A_5|=\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n-1}{5}\right\rfloor$ (bằng 1 nếu n chia hết cho 5, ngược lại bằng 0)
(Tính ra cũng… dài không kém!)
Trở lại bài toán với $n=37$
$|A|={36\choose 4}=58905$
$|A_2|=\sum_{a=1}^{17}\frac{(36-2a)(35-2a)}{2}=…=3417$
$|A_{22}|=\frac{1}{2}.17.18=153$
$|A_{23}=\left\lfloor\frac{38}{6}\right\rfloor=6$
$|A_3|=\sum_{a=1}^{11}(36-3a)=198$
$|A_4|=\left\lfloor\frac{36}{4}\right\rfloor=9$
$|A_5|=0$
Số bộ $(a,b,c,d,e)$ nguyên dương sắp thứ tự thoả mãn $a+b+c+d+e=37$ là
$|S|=\frac{58905+10.3417+15.153+20.6+20.198+30.9+24.0}{120}$
$\quad =831$
——
(Ơn trời kết quả chính xác!)