KHÁI NIỆM “HỌ” TRONG TOÁN HỌC.
- Họ (trong toán học) là gì?
Trong chương trình Toán THPT và Đại học, ta thường gặp khái niện HỌ, ví dụ họ đường cong, họ nghiệm, họ các hàm số,v,v,….. Tuy nhiên chưa thấy sách nào định nghĩa HỌ là cái gì.
Trong thực tế, tôi thấy có nhiều các hiểu về khái niệm này. Có người hiểu “HỌ LÀ MỘT TẬP HỢP”, mà các phần tử của nó cũng là một tập hợp. https://vi.wikipedia..._hợp_(toán_học)
Có người lại cho rằng Họ là một BIỂU THỨC. Ví dụ $\int{f(x)dx}$ là BIỂU THỨC $F(x)+C$(trong đó $F'(x)=f(x)$và C là hằng số).
Vậy cuối cùng HỌ là cái gì? Qua tìm hiểu trên Mạng, tôi thấy quan niệm sau là có lý nhất: HỌ là một HÀM. Họ các tập hợp \[{{\left( {{U}_{i}} \right)}_{i\in I}}\]là một hàm $f:I\to U$biến mỗi phần tử $i\in I$thành một tập hợp ${{U}_{i}}$. Tập I thường được gọ là tập chỉ số.
Tóm lại, HỌ khác với TẬP HỢP. Song đối với mỗi tập hợp X cũng xác định được một họ (hàm) $f:X\to X$biến mỗi phần tử $x\in X$thành chính nó. Đối với một họ \[{{\left( {{U}_{i}} \right)}_{i\in I}}\]thì có thể xảy ra trường hợp ${{U}_{i}}\equiv {{U}_{j}}(i\ne j)$(hàm $f:I\to U$không đơn ánh) nhưng đối với một tập hợp ${{\left\{ {{U}_{i}} \right\}}_{i\in I}}$thì không thể xảy ra trường hợp ${{U}_{i}}\equiv {{U}_{j}}(i\ne j)$, nghĩa là các phần từ trong tập hợp chỉ được liệt kê duy nhất một lần.
- Về kí hiệu của họ.
Ta biết rằng dãy số là một hàm số $u:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$biến mỗi số tự nhiên $n\in \mathbb{R}$thành số thực $u(n)\in \mathbb{R}\left( {{u}_{n}}\in \mathbb{R} \right)$. Do đó, dãy số cũng được xem là một HỌ các số. Vấn đề là về kí hiệu dãy số (cũng là kí hiệu của họ) không thống nhất, không nêu được bản chất của nó. Đa số kí hiệu dãy là $(u(n)),n\in \mathbb{N};({{u}_{n}}),n\in \mathbb{N};{{({{u}_{n}})}_{n\in \mathbb{N}}}$. Thực ra kí hiệu kiểu này cũng không nêu được bản chất hàm số của nó. Tại sao đối với hàm số ta kí hiệu là $f(x),x\in X$nhưng đối với dãy (cũng là một hàm số) thì ta lại kí hiệu là $(u(n)),n\in \mathbb{N}$(Thêm hai dấu ngoặc) ? Ngoài ra, có người còn kí hiệu dãy kiểu khác nữa. Ví dụ:
http://www.hus.vnu.e...nLoai (358).pdf
Kí hiệu nầy làm người ta nghĩ tới HỌ là một TẬP HỢP!
- Một số kí hiệu khác dễ gây nhầm lẫn.
$\log 2x=\log (2x);\sin 2x=\sin (2x)$….. cho nên mới có bài toán lớp 7 có hai đáp số khác nhau: $\frac{1}{2}:2x=5\Leftrightarrow 2x=10\Leftrightarrow x=5$ và $\frac{1}{2}:2x=5\Leftrightarrow \frac{1}{4}x=5\Leftrightarrow x=20$.
Rồi nữa:$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x (nếu x\geq 0)\\ -x (nếu x< 0) \end{matrix}\right.$ hay là $\left | x \right |=\left.\begin{matrix} x (nếu x \geq 0)\\ -x (Nếu x<0) \end{matrix}\right|$
- Một số đề xuất.
1) Về tên gọi “họ”. Ta nói phương trình $\sin x=1$có một HỌ nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$hay có một nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$(Không có từ “họ”) thì cũng vậy . Định nghĩa $\int{f(x)dx}$là HỌ các nguyên hàm $F(x)+C,\left( C\in \mathbb{R} \right)$hay là biểu thức $F(x)+C,\left( C\in \mathbb{R} \right)$cũng như nhau mà thôi. Do đó, nếu được thì bỏ từ HỌ cho lành, trừ trường hợp không thể không được thì mới thêm từ HỌ vào.
2) Về kí hiệu. Bản chất HỌ là một HÀM, cho nên ta phải dùng kí hiệu hàm ${{U}_{i}}(i\in I)$hay là ${{U}_{i}}_{(i\in I)}$, Kí hiệu dãy là ${{u}_{n}}(n\in \mathbb{N})$(Không có thêm hai dấu ngoặc)
Việc kí hiệu một đối tượng, có nên kí hiệu làm sao để không nhầm lẫn giữa đối tượng này và dối tượng khác? Nhiều Ông bà bảo rằng việc đó không quan trọng, nhưng đó là cảm nhận cá nhân, hay có định lý nào (trong toán học) chứng minh rằng … nó không quan trọng?
