Chủ đề này có 1 trả lời

[truongphat266]

Cho tam giác $ABC$ nhọn có 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $FD$ cắt $AC$ tại $N$, $ED$ cắt $AB$ tại $M$. Cho $O$ là tâm đường tròn $(ABC)$. Chứng minh: $OH\perp MN$.

[huytran08]

$C_{1}$:

  Ta có $MA.MB=MD.ME$ nên $M$ thuộc trục đẳng phương $(ABC)$ và $(DEF)$

  Tương tự $N$ thuộc trục đẳng phương hai đường tròn này

   Từ đó suy ra $MN \perp OO'$($O'$ là tâm $(DEF)$) mà $O,O',H$ thuộc đường thẳng $Euler$ của $\Delta ABC$ nên $OH\perp MN$(đpcm)

 $C_{2}$:

    Dễ chứng minh $BO\perp DF$, $CO\perp DE$

Ta có $MA\perp CH \Rightarrow MC^{2}-MH^{2}=AC^{2}-AH^{2}$ (1)

          $NA\perp BH \Rightarrow NB^{2}-NH^{2}=AB^{2}-AH^{2}$   (2)

          $DA\perp BC \Rightarrow DB^{2}-DC^{2}=AB^{2}-AC^{2}$   (3)

          $BO\perp DF \Rightarrow BN^{2}-BD^{2}=ON^{2}-OD^{2}$   (4)

          $CO\perp DE \Rightarrow CM^{2}-CD^{2}=OM^{2}-OD^{2}$  (5)

    Lấy (1)-(2)+(3)+(4)-(5) vế theo vế ta được: $HN^{2}-HM^{2}=ON^{2}-OM^{2}$

                                                                        $ \Rightarrow OH\perp MN$(đpcm)