Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Bài Toán:

 

Chọn ngẫu nhiên $2$ số phân biệt từ các số $1; \ 2 ; \ 3; \cdots ; 20$

 

Hãy tính xác suất để tích $2$ số được chọn là số chia hết cho $6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 24-04-2023 - 21:18

[chanhquocnghiem]

Lời giải

Bài Toán:

 

Chọn ngẫu nhiên $2$ số phân biệt từ các số $1; \ 2 ; \ 3; \cdots ; 20$

 

Hãy tính xác suất để tích $2$ số được chọn là số chia hết cho $6$

Gọi $A=\left \{ 2,4,8,10,14,16,20 \right \}$

       $B=\left \{ 3,9,15 \right \}$

       $C=\left \{ 6,12,18 \right \}$

$\mathbf{TH1}$ : $1$ số thuộc $A$, $1$ số thuộc $B\rightarrow C_7^1C_3^1=21$ cách

$\mathbf{TH2}$ : $1$ số thuộc $C$, $1$ số không thuộc $C\rightarrow C_3^1C_{17}^1=51$ cách

$\mathbf{TH3}$ : Cả $2$ số thuộc $C\rightarrow C_3^2=3$ cách

Xác suất cần tính là $\frac{21+51+3}{C_{20}^2}=\frac{15}{38}$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-04-2023 - 21:56

[supermember]

Lời giải của bạn Chánh là quá đẳng cấp.

 

Lời giải sau là của supermember:

Gọi tập $20$ số nguyên dương đầu tiên là $A$

 

Gọi $ B = \{ 2; 4; 8; 10; 14; 16; 20 \} = \{ 2^1; 2^2; 2^3; 2 \times 5; 2 \times 7; 2^4; 2^2 \times 5 \}$

 

$ C = \{3; 9; 15 \} = \{3^1; 3^2 ; 3^1 \times 5 \}$

 

$ D = \{6; 12; 18 \} = \{6; 6 \times 2; 6 \times 3 \} $

Thì rõ ràng $ | B| = 7;  | C| = 3; |D| = 3$ và  $ | A \backslash (B \cup C \cup D) | = 7$

 

Để đi tìm số các cách chọn để có tích $2$ số chia hết cho $6$, ta đi gián tiếp bằng cách tính các cách chọn để tích $2$ số không chia hết cho $6$.

 

Trường hợp $1$ : Tích $2$ số được chọn không chia hết cho $2$ và cũng không chia hết cho $3$. Trường hợp này thì rõ ràng $2$ số được chọn sẽ thuộc tập hợp  $A \backslash (B \cup C \cup D)$. Số cách chọn trong trường hợp này là $ \binom{7}{2}$

 

Trường hợp $2$ : Tích $2$ số được chọn chia hết cho $2$ và không chia hết cho $3$.

 

Trường hợp này thì rõ ràng $2$ số được chọn đều thuộc tập $B$; hoặc là có $1$ số thuộc tập $B$  và  $1$ số còn lại  sẽ thuộc tập hợp  $A \backslash (B \cup C \cup D)$. Theo quy tắc nhân và quy tắc cộng thì Số cách chọn trong trường hợp này là:  $ \binom{7}{2} + 7 \times 7 = \binom{7}{2} + 7^2$

 

Trường hợp $3$ : Tích $2$ số được chọn chia hết cho $3$ và không chia hết cho $2$.

 

Trường hợp này thì rõ ràng $2$ số được chọn đều thuộc tập $C$; hoặc là có $1$ số thuộc tập $C$  và $1$ số còn lại  sẽ thuộc tập hợp  $A \backslash (B \cup C \cup D)$. Theo quy tắc nhân và quy tắc cộng thì Số cách chọn trong trường hợp này là:  $ \binom{3}{2} + 3 \times 7 = 3 + 3 \times 7$

 

Theo quy tắc cộng thì số cách chọn ra $2$ số phân biệt sao cho tích $2$ số không chia hết cho $6$ sẽ là:

 

$ \binom{7}{2} + \binom{7}{2} + 7^2+ 3 + 3 \times 7 = 6 \times 7+ 49+ 24 = 115$

 

Do đó, xác suất tần tìm bằng: $ \frac{ \binom{20}{2} - 115}{\binom{20}{2}} = \frac{190-115}{190} = \frac{75}{190} = \frac{15}{38}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 24-04-2023 - 22:43