Chủ đề này có 13 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu số 4 chữ số khác nhau chia hết cho 6 và tổng các chữ số cũng chia hết cho 6.

[hxthanh]

Bấm máy thì ra kết quả là $752$.

Để từ từ tìm cách tính

[hxthanh]

Lại vội vàng không đọc kỹ đề.
$752$ là số các số có $4$ chữ số chia hết cho $6$ có tổng chữ số cũng chia hết cho $6$. Mà quên mất rằng “các chữ số khác nhau”

$A\{0,6\};\;B\{1,7\};\;C\{2,8\};\;D\{3,9\};\{4\};\;\{5\}$

- Tận cùng $0$
$6\equiv 1(7)+2(8)+3(9)\equiv 1+7+4\equiv 6+3+9\equiv$ $\equiv 2(8)+4+6\equiv 4+3(9)+5\equiv 5+1(7)+6\pmod 6$
$S_6=48+6+6+12+12+12=96$
- Tận cùng $6$
$6\equiv 1(7)+2(8)+3(9)\equiv 1+7+4\equiv 0+3+9\equiv$ $\equiv 2(8)+4+0\equiv 4+3(9)+5\equiv 5+1(7)+0\pmod 6$
$S_6=48+6+4+8+12+8=86$
- Tận cùng $2$
$4\equiv 0+6+4\equiv 0+1(7)+3(9)\equiv 6+1(7)+3(9)\equiv$ $\equiv 1+7+8\equiv 4+3+9\equiv 5+3(9)+8\equiv 5+4+1(7)\pmod 6$
$S_2=S_8=4+16+24+6+6+12+12=80$
- Tận cùng là $4$
$2\equiv 0+1+7\equiv 6+1+7\equiv 0+6+2(8)\equiv $
$0+3(9)+5\equiv 6+3(9)+5\equiv 5+1(7)+2(8)\equiv 3+9+2(8)\pmod 6$
$S_4=4+6+8+8+12+24+12=74$
Vậy tổng cộng có $96+86+80+80+74=416$ số thoả đề
——

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 27-04-2023 - 05:49
Cảm ơn 2 chuyên gia

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu số 4 chữ số khác nhau chia hết cho 6 và tổng các chữ số cũng chia hết cho 6.

Gọi $A=\left \{ 0,3,6,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,4,7 \right \}$ ; $C=\left \{ 2,5,8 \right \}$

$\mathbf{TH1}$ : ($2$ chữ số lẻ, $2$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$)

a) Cả $4$ chữ số thuộc $A$ : Có $C_4^4=1$ bộ (đó là $(0,3,6,9)$)

b) $3$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $A$ : $1$ bộ (là $(0,1,4,7)$)

c) $1$ cs thuộc $B$ (ký hiệu $b$), $1$ cs thuộc $C$ (ký hiệu $c$), $2$ cs thuộc $A$ :

   - Nếu $b+c\equiv 3\ (mod\ 6)$ (có $5$ tình huống như vậy) thì có $2$ bộ.

   - Nếu $b+c\equiv 0\ (mod\ 6)$ (có $2$ tình huống như vậy) thì có $1$ bộ.

   Vậy TH1c này có $5.2+2.1=12$ bộ.

  Mỗi bộ lập được $10$ số $\rightarrow$ TH1 có $10.(1+1+12)=140$ số.

$\mathbf{TH2}$ : ($2$ chữ số lẻ, $2$ chữ số chẵn, không có chữ số $0$)

a) $3$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $A$ : $1$ bộ (là $(6,1,4,7)$)

b) $3$ chữ số thuộc $C$, $1$ chữ số thuộc $A$ : $2$ bộ (là $(2,5,8,3)$ và $(2,5,8,9)$)

c) $1$ cs thuộc $B$ (ký hiệu $b$), $1$ cs thuộc $C$ (ký hiệu $c$), $2$ cs thuộc $A$ :

   - Nếu $b+c\equiv 3\ (mod\ 6)$ (có $5$ tình huống như vậy) thì có $2$ bộ.

   - Nếu $b+c\equiv 0\ (mod\ 6)$ (có $2$ tình huống như vậy) thì có $1$ bộ.

   Vậy TH2c này có $5.2+2.1=12$ bộ.

d) $2$ chữ số thuộc $B$ (ký hiệu $b_1,b_2$), $2$ chữ số thuộc $C$ :

   - Nếu $b_1+b_2\equiv 2\ (mod\ 6)$ thì có $1$ bộ (là $(1,7,2,8)$)

   - Nếu $b_1+b_2\equiv 5\ (mod\ 6)$ (có $2$ tình huống như vậy) thì có $2$ bộ

   Vậy TH2d này có $1+2.2=5$ bộ.

  Mỗi bộ lập được $12$ số $\rightarrow$ TH2 có $12.(1+2+12+5)=240$ số.

$\mathbf{TH3}$ : ($4$ chữ số chẵn) Có $2$ bộ (là $(0,2,4,6)$ và $(0,8,4,6)$)

  Mỗi bộ lập được $18$ số $\rightarrow$ TH3 có $18.2=36$ số.

 

Vậy có tổng cộng $140+240+36=416$ số thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 26-04-2023 - 22:29

[Nobodyv3]

Với sự trợ giúp của máy tính, ta tính :
$\bullet $ Số các số tận cùng là $0$:
Hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)\\
\Rightarrow [x^{6k}]q(x)&=16
\end{align*}$$Vậy, ta được $3!16=\boldsymbol {96}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $2$:
Hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^4y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$Đặt $r(x)$ là tổng các số hạng có bậc là $3k+1$ trong $q(x)$, mà các số hạng này  có bậc nếu cộng với 2 thì chia hết cho 6. Tdụ : $q(x)$ có 1 số hạng $3x^{16} $ được giữ lại trong $r(x)$ vì 16+2=18 chia hết cho 6. Số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+1}]r(x)=3!15$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!15-2!5=\boldsymbol {80}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $4$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$ Đặt $r(x)$ gồm các số hạng có bậc là $3k+2$ mà các số hạng này có bậc nếu cộng với 4 thì chia hết cho 6 thì số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+2}]r(x)=3!14$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!14-2!5=\boldsymbol {74}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $6$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^4y)(1+x^7y)(1+x^8y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$ Đặt $r(x)$ là tổng các số hạng có bậc là $3k$ trong $q(x)$ mà bậc các số hạng này nếu cộng với 6 thì chia hết cho 6. Số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k}]r(x)=3!16$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!16-2!5=\boldsymbol {86}$ số
$\bullet $ Số các số tận cùng là $8$:
Lập luận như trên, ta có hàm sinh :
$$\begin {align*}
f(x,y)&=(1+y)(1+xy)(1+x^3y)(1+x^2y)(1+x^5y)
\\
&(1+x^6y)(1+x^7y)(1+x^4y)(1+x^9y)\\
\Rightarrow [y^3]f(x,y)&=q(x)
\end {align*}$$  Đặt $r(x)$ gồm các số hạng có bậc là $3k+1$, mà các số hạng có bậc nếu cộng với 8 thì chia hết cho 6 thì số các số 4 chữ số kể cả chữ số 0 có nghĩa :
$3![x^{3k+1}]r(x)=3!15$
Với lập luận như trên, ta có số các số có 3 chữ số và không có chữ số 0 là $2!5$
Vậy, ta được $3!15-2!5=\boldsymbol {80}$ số
Cho nên số các số thỏa yêu cầu là :
$$96+80+74+86+80=\boldsymbol {416}$$ số

[hxthanh]

Cảm ơn @chanhquocnghiem , @Nobodyv3 , mình đã tìm ra lỗi sai ở đâu (đã sửa)
Quay lại bài toán, bỏ đi điều kiện các chữ số khác nhau, kết quả là $752$. Các bạn thử tính xem!

[Nobodyv3]

Cảm ơn @chanhquocnghiem , @Nobodyv3 , mình đã tìm ra lỗi sai ở đâu (đã sửa)
Quay lại bài toán, bỏ đi điều kiện các chữ số khác nhau, kết quả là $752$. Các bạn thử tính xem!

Số nhỏ nhất thỏa đề bài là số $1014$ và lớn nhất là số $9984$, do đó số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {9984-1014}{18}+1=$
Edited.
Em còn đếm nhầm không nhỉ? Sai rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 27-04-2023 - 14:13

[hxthanh]

Số nhỏ nhất thỏa đề bài là số $1002$ và lớn nhất là số $9984$, do đó số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac {9984-1002}{6}+1=1498$

Em có đếm nhầm không nhỉ?

$1002$ có tổng các chữ số bằng $3$ đâu có chia hết cho $6$?

[chanhquocnghiem]

Cảm ơn @chanhquocnghiem , @Nobodyv3 , mình đã tìm ra lỗi sai ở đâu (đã sửa)
Quay lại bài toán, bỏ đi điều kiện các chữ số khác nhau, kết quả là $752$. Các bạn thử tính xem!

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\frac{x(1-x^9)}{1-x}.\left ( \frac{1-x^{10}}{1-x} \right )^2.\frac{1-x^{10}}{1-x^2}=\frac{(x-x^{10})(1-x^{10})^3}{(1-x)^3(1-x^2)}$

   $=(x-x^{10}-3x^{11}+3x^{20}+3x^{21}-3x^{30}-...)\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+2}^2x^i\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}$

1) Tính $\left [ x^6 \right ]f(x)=\left [ x^{30} \right ]f(x)=m$ :

  + $k=0\rightarrow C_7^2$

  + $k=1\rightarrow C_5^2$

  + $k=2\rightarrow C_3^2$

     $\Rightarrow m=C_7^2+C_5^2+C_3^2=34$

2) Tính $\left [ x^{12} \right ]f(x)=\left [ x^{24} \right ]f(x)=n$ :

  + $k=0\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$

  + $k=1\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$

  + $k=2\rightarrow C_{9}^2$

  + .....................................

  + $k=5\rightarrow C_{3}^2$

     $\Rightarrow n=(C_3^2+C_5^2+C_7^2+...+C_{13}^2)-(C_2^2+C_4^2)-3C_3^2=187$

3) Tính $\left [ x^{18} \right ]f(x)=p$

  + $k=0\rightarrow C_{19}^2-C_{10}^2-3C_9^2$

  + $k=1\rightarrow C_{17}^2-C_8^2-3C_7^2$

  + $k=2\rightarrow C_{15}^2-C_6^2-3C_5^2$

  + $k=3\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$

  + $k=4\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$

  + $k=5\rightarrow C_9^2$

  + .....................................

  + $k=8\rightarrow C_3^2$

     $\Rightarrow p=(C_3^2+C_5^2+...+C_{19}^2)-(C_2^2+C_4^2+...+C_{10}^2)-3(C_3^2+C_5^2+...+C_9^2)=310$

 

  Vậy đáp án là $\left ( \left [ x^6 \right ]+\left [ x^{12} \right ]+\left [ x^{18} \right ]+\left [ x^{24} \right ]+\left [ x^{30} \right ] \right )f(x)=2m+2n+p=2.34+2.187+310=752$.
 

[Nobodyv3]

Ta có hàm sinh :
$f(x)=\frac{x(1-x^9)}{1-x}.\left ( \frac{1-x^{10}}{1-x} \right )^2.\frac{1-x^{10}}{1-x^2}=\frac{(x-x^{10})(1-x^{10})^3}{(1-x)^3(1-x^2)}$
   $=(x-x^{10}-3x^{11}+3x^{20}+3x^{21}-3x^{30}-...)\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+2}^2x^i\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k}$
1) Tính $\left [ x^6 \right ]f(x)=\left [ x^{30} \right ]f(x)=m$ :
  + $k=0\rightarrow C_7^2$
  + $k=1\rightarrow C_5^2$
  + $k=2\rightarrow C_3^2$
     $\Rightarrow m=C_7^2+C_5^2+C_3^2=34$
2) Tính $\left [ x^{12} \right ]f(x)=\left [ x^{24} \right ]f(x)=n$ :
  + $k=0\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$
  + $k=1\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$
  + $k=2\rightarrow C_{9}^2$
  + .....................................
  + $k=5\rightarrow C_{3}^2$
     $\Rightarrow n=(C_3^2+C_5^2+C_7^2+...+C_{13}^2)-(C_2^2+C_4^2)-3C_3^2=187$
3) Tính $\left [ x^{18} \right ]f(x)=p$
  + $k=0\rightarrow C_{19}^2-C_{10}^2-3C_9^2$
  + $k=1\rightarrow C_{17}^2-C_8^2-3C_7^2$
  + $k=2\rightarrow C_{15}^2-C_6^2-3C_5^2$
  + $k=3\rightarrow C_{13}^2-C_4^2-3C_3^2$
  + $k=4\rightarrow C_{11}^2-C_2^2$
  + $k=5\rightarrow C_9^2$
  + .....................................
  + $k=8\rightarrow C_3^2$
     $\Rightarrow p=(C_3^2+C_5^2+...+C_{19}^2)-(C_2^2+C_4^2+...+C_{10}^2)-3(C_3^2+C_5^2+...+C_9^2)=310$
 
  Vậy đáp án là $\left ( \left [ x^6 \right ]+\left [ x^{12} \right ]+\left [ x^{18} \right ]+\left [ x^{24} \right ]+\left [ x^{30} \right ] \right )f(x)=2m+2n+p=2.34+2.187+310=752$.

Great solution!
Bình loạn :
Nếu mình hiểu đúng ý thì tác giả đã :
- Lập hàm sinh cho các số chẵn.
- Rút hệ số để tính các số có tổng chữ số chia hết cho 6 (điều này đảm bảo các số này chia hết cho 3 suy ra chia hết cho 6).
Giải rất khéo, xin phép được học hỏi.

[hxthanh]

Lời giải dưới đây không hay cho lắm nhưng lại thuận tiện khi dùng máy tính.
Ta có tổng các chữ số (trong hệ thập phân) của $n$ là:
$$S(n)=n-9\sum_{i\ge 1}\left\lfloor \frac{n}{10^i}\right\rfloor$$
(Chứng minh điều này không khó)
Xét $1000\le n=6k\le 9999$ Suy ra $167\le k\le 1666$
$S(6k)=6k-9\left(\left\lfloor \frac{3k}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{3k}{50}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{3k}{500}\right\rfloor\right)$
Như vậy $S(6k)$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi
$\left(\left\lfloor \frac{3k}{5}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{3k}{50}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{3k}{500}\right\rfloor\right) $ chia hết cho $2$
(Bấm máy ta có kết quả 752 . Mà thật ra có thể “ước lượng” trong khoảng 1500 số cần kiểm tra có khoảng 750 số chẵn)
Điều này được thoả mãn khi trong $3$ số có 1 số chẵn 2 số lẻ hoặc cả $3$ số đều chẵn.
- Xét $\left\lfloor \frac{3k}{500}\right\rfloor=2m\Rightarrow 1\le m\le 4$, nên:
$k\in [334,499]\cup[667,833]\cup[1000,1166]\cup[1334,1499]$

…
To be continue…

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-04-2023 - 08:22

[Nobodyv3]

Tiếp đi thầy ơi!

[hxthanh]

Tiếp đi thầy ơi!

… vì thấy cách này quá thủ công nên, không tiếp tục nữa!
Còn mỗi căn cứ vào bảng tuần hoàn modul mà xét chẵn lẻ
Cụ thể
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k\!\mod\! 10&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
\left\lfloor\frac{3k}{5}\right\rfloor&c&c&l&l&c&l&l&c&c&l\\
\hline
\end{array}
Và
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k\!\!\mod\!\! 100\!\!&\!0..16\!&\!17..33\!&\!34..49\! &\!50..66\!&\!67..83\!&\!84..99\!\\
\hline
\left\lfloor\frac{3k}{50}\right\rfloor\!\!&c&l&c&l&c&l\\
\hline
\end{array}
Kết hợp lại
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k\!\!\mod\!\! 100\!\!&\!0..16\!&\!17..33\!&\!34..49\! &\!50..66\!&\!67..83\!&\!84..99\!\\
\hline
\left\lfloor\frac{3k}{50}\right\rfloor\!\!&c&l&c&l&c&l\\
\hline
\left\lfloor\frac{3k}{5}\right\rfloor\!\!&8c,9l&9c,8l&8c,8l&8c,9l&9c,8l&8c,8l\\
\hline
\end{array}
———
Với $\left\lfloor\frac{3k}{500}\right\rfloor $ chẵn ta có $4$ đoạn
Căn cứ vào bảng trên, tính được
$[334,499]$ có $50+8+9+9+8=84$ số thoả
$[667,833]$ có $50+9+8+8+8=83$ số thoả
$[1000,1166]$ có $50+8+8+8+9=83$ số thoả
$[1334,1499]$ có $50+8+9+9+8=84$ số thoả
Với $\left\lfloor\frac{3k}{500}\right\rfloor $ lẻ ta có $5$ đoạn
$[167,333]$ có $50+8+8+9+9=84$ số thoả
$[500,666]$ có $50+9+9+8+8=84$ số thoả
$[834,999]$ có $50+8+8+8+8=82$ số thoả
$[1167,1333]$ có $50+8+8+9+9=84$ số thoả
$[1500,1666]$ có $50+9+9+8+8=84$ số thoả
Tổng kết lại có tất cả
$(84+83+83+84)+(84+84+82+84+84)=752$ số thoả mãn yêu cầu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-04-2023 - 19:07

[Nobodyv3]

@hxthanh: em nghĩ không những tiếp tục mà còn phải phổ biến hơn nữa! Những bài giải của thầy có nét duyên dáng, độc đáo riêng... mọi người nên học hỏi.
Thú thật, khi đọc các bài của thầy, riêng em, không thể một sớm một chiều mà hiểu được! Phải nghiền ngẫm nhiều ngày mà chưa chắc lĩnh hội thấu đáo nên phải đành gác lại để khi nào rảnh rỗi đọc tới đọc lui thì may ra hiểu phần nào...
Tóm lại, thầy cứ tiếp tục post bài thầy nhé, có thể các bài này không kiêu sa,
cuốn hút như một cô tiểu thư đài các chốn thị thành nhưng lại nổi bật phần duyên dáng, thùy mị, giản dị của một cô gái chân quê, mộc mạc, diệu hiền...