Chủ đề này có 4 trả lời

[Leonguyen]

Cho $\bigtriangleup ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$. Kẻ $AA'$ là đường kính đường tròn đi qua điểm $A$, trung điểm của $BD$ và trung điểm của $CD$. Định nghĩa $BB',CC'$ tương tự. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy.

 

Hình gửi kèm

• 

[chuyenndu]

vẽ hình thì thấy A'M vuông góc BC (M là trung điểm BC)

[Leonguyen]

vẽ hình thì thấy A'M vuông góc BC (M là trung điểm BC)

Cái bài này thực ra là chứng minh $A'B=A'C$ (có thể sử dụng cách gọi trung điểm của $DA'$), khi vẽ tương tự với các cạnh còn lại thì thấy nó đồng quy ạ.

[perfectstrong]

Để chứng minh $A'B=A'C$ thì có thể làm như sau:

Gọi $D_B,D_C$ lần lượt là trung điểm $DB, DC$.

Ta có định lý Apollonius như sau:

Định lý

Cho tam giác $ABC$ và trung tuyến $AD$. Khi đó: $AB^2+AC^2=4AD^2+BC^2$.

Áp dụng Theorem vào tam giác $A'BD$ với trung tuyến $AD_B$, ta có:

\begin{equation} \label{eq_adb} 4A'D_B^2 + B{D^2} = A'{B^2} + A'{D^2} \Rightarrow A'{B^2} = 4A'D_B^2 + B{D^2} - A'{D^2} \end{equation}

Tương tự với tam giác $A'CD$:

\begin{equation} \label{eq_adc} A'{C^2} = 4A'D_C^2 + C{D^2} - A'{D^2} \end{equation}

Trừ \eqref{eq_adb} cho \eqref{eq_adc} vế theo vế và chú ý rằng $AD_BA'$ và $AD_CA'$ là các tam giác vuông lần lượt tại $D_B, D_C$, ta có:

\[\begin{align*}
 A'{B^2} - A'{C^2}&  = 4A'D_B^2 - 4A'D_C^2 + B{D^2} - C{D^2} \hfill \\
  & = 4\left( {\left( {AA{'^2} - AD_B^2} \right) - \left( {AA{'^2} - AD_C^2} \right)} \right) + D{B^2} - D{C^2} \hfill \\
  & = 4\left( {AD_C^2 - AD_B^2} \right) + D{B^2} - D{C^2} \hfill \\
  & = 4\left( {DD_C^2 - DD_B^2} \right) + D{B^2} - D{C^2} \hfill \\
  & = 0
\end{align*} \]

Vậy $A'B=A'C$.

[HaiDangPham]

Phản ví dụ cho mệnh đề $AA', BB', CC'$ đồng quy. 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 05-05-2023 - 17:55