Đến nội dung

Hình ảnh

Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3) ) $? 

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Tính số bộ nghiệm nguyên không âm  $((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3) ) $ với :
$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3\le 11\\
y_1+y_2+y_3\le 13\\
z_1+z_2+z_3\le 15\\
x_1+y_1+z_1=8\\
x_2+y_2+z_2=8\\
x_3+y_3+z_3=8
\end{cases}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Bài này rối thật! Quả thực mình không tìm được hướng giải quyết!
Biết rằng $a+b+c=8$ có ${10\choose 2}=45$ bộ nghiệm nguyên không âm.
Chọn ra $3$ bộ trong số này thoả được bài toán xem ra không khả thi!
\begin{array}{|c|c|c|c}
\hline
x_1&x_2&x_3&\le 11\\
\hline
y_1&y_2&y_3&\le 13\\
\hline
z_1&z_2&z_3&\le 15\\
\hline
=8&=8&=8& \bigstar \\
\end{array}
Hóng lời giải của @Nobodyv3 …!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 29-04-2023 - 00:36


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@hxthanh :Thật ra em chưa nghĩ ra cách tính tay bài toán này. Em post lên cho mọi người giải để mà học hỏi. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của máy tính thì đáp án của em là $63497$, rất mong mọi người kiểm tra giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-04-2023 - 07:44

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

@hxthanh :Thật ra em chưa nghĩ ra cách tính tay bài toán này. Em post lên cho mọi người giải để mà học hỏi. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của máy tính thì đáp án của em là $63497$, rất mong mọi người kiểm tra giúp.

Ta có hàm sinh :

$f(y,z)=\left ( \frac{1-y^9+z(1-y^8)+z^2(1-y^7)+z^3(1-y^6)+...+z^8(1-y)}{1-y} \right )^3$

Với sự trợ giúp của máy tính ta có :

$\left [ y^{13}z^n \right ]f(y,z)=3.2.(20+54+95+135+165+181)=3900$

$\left [ y^{12}z^n \right ]f(y,z)$ với $1\leqslant n\leqslant 15$

    $=\left [ 61+2(168+303+445+570+651)+679 \right ]=5014$

$\left [ y^{11}z^n \right ]f(y,z)$ với $2\leqslant n\leqslant 15$

    $=3.\left [ 20+56+2(103+155+205+245+266) \right ]=6072$

$\left [ y^{10}z^n \right ]f(y,z)$ với $3\leqslant n\leqslant 15$

    $=3.\left [ 19+54+101+2(155+210+259+294)+306 \right ]=6948$

Tiếp tục như thế, các kết quả tiếp theo là $7516,7611,7116,6174,4956,3642,2402,1365,612,169$

Cộng tất cả lại, ta có đáp án là $63497$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-04-2023 - 12:31

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Lời giải của bạn @chanhquocnghiem quả thực là giải pháp tuyệt vời để đếm được bài toán này. Chẳng lẽ không tồn tại một cách đếm khác sao?
Biết chắc rằng kết quả nhỏ hơn $45^3=91125$
Ta có thể đếm được phần thừa ra không?
Mình có ý tưởng thêm vào các số $a,b,c$ để thay thế các bất đẳng thức
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_1&y_1&z_1&8\\
\hline
x_2&y_2&z_2&8\\
\hline
x_3&y_3&z_3&8\\
\hline
a&b&c&15\\
\hline
11&13&15&\bigoplus\\
\hline
\end{array}
Bộ $12$ số nguyên không âm này liệu có phức tạp hơn không?




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh