Lời giải
Bài này giải như thế này:
Câu $a$:
Ta gọi $S_n$ là tổng của các số trên hàng ngang này sau $n$ bước " xóa $2$ số- thay bằng $1$ số "
Rõ ràng: $ S_0 = 1 + 2+3+...+ 23 = \frac{23 \times 24}{2} = 23 \times 12$ là số chẳn.
Và để ý là cứ sau $1$ bước thì hiệu $S_{n} - S_{n+1} = a+b - |a-b| \in \{ 2a; 2b \} $ tức là cứ sau một bước thì các tổng $S_k$ ( $k \in \mathbb{N}$ )này sẽ không thay đổi tính chẳn lẻ. Mà do $S_0$ là số chẳn, Vậy $S_{22}$ cũng phải là số chẳn.
Mà theo giải thiết bài toán thì $S_{22}$ là số nguyên tố, nên chỉ có thể xảy ra trường hợp duy nhất là: $S_{22} = 2$
Câu $b$: Sau khi gỉai quyết xong câu $a$ thì chỉ cần để ý như sau:
Nếu thực hiện $1$ bước với $2$ số $2 ; 2$ thì ta sẽ bớt đi $2$ số $2$ trong hàng ngang này và có được $1$ số $0$,
Nếu thực hiện $1$ bước với $2$ số $2 ; 0$ thì ta sẽ bớt đi $1$ số $0$ trong hàng ngang này và có được $1$ số $2$,
nên ý tưởng của ta đơn giản là biến hàng ngang này thành toàn các số $2$, sau đó ta sẽ xoay sở để có số $0$ xuất hiện.
Bước $1$: Giờ ta áp dụng $5$ bước với các cặp số $(5;7); \ (9;11); \ (13;15); \ (17;19); \ (21;23)$
Ta thu được hàng ngang sau (không quan trọng thứ tự các số):
$1; 3; 2; 2; 2; 2; 2 ; 2 ; 4; 6; 8 ; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22$; tổng cộng là $6$ số $2$ trong hàng ngang này.
Bước $2$: Giờ ta áp dụng $5$ bước với các cặp số $(4;6); \ (8;10); \ (12;14); \ (16;18); \ (20;22)$
Ta thu được hàng ngang sau (không quan trọng thứ tự các số):
$1; 3; 2; 2; 2; 2 ; 2 ; 2; 2; 2 ; 2 ; 2 $ , tổng cộng là $11$ số $2$ trong hàng ngang này.
Bước $3$: Giờ ta áp dụng $5$ bước với các cặp số $(2;2); \ (2;2); \ (2;2); \ (2;2); \ (2;2)$
Ta thu được hàng ngang sau (không quan trọng thứ tự các số):
$0; 0; 0; 0; 0; 2; 1 ; 3 $ , tổng cộng là $1$ số $2$ và $5$ số $0$ trong hàng ngang này.
Bước $4$:
Với $7$ bước còn lại thì ta biến đổi như sau:
Lưu ý là nếu chọn $2$ số nào để thực hiện $1$ bước thì ở dưới ta gạch chân $2$ số đó để người đọc dễ theo dõi:
$ (\underline{0}; \ \underline{0}; \ 0; \ 0; \ 0; \ 2; \ 1 ; \ 3) \rightarrow (\underline{0}; \ \underline{0}; \ 0; \ 0; 2; 1 ; 3) \rightarrow (\underline{0}; \ \underline{0}; \ 0; \ 2; \ 1 ; \ 3)$
$ \rightarrow (\underline{0}; \underline{0}; \ 2; \ 1 ; \ 3) \rightarrow (\underline{0}; \ 2; \ \underline{1} ; \ 3) \rightarrow (\underline{1}; \ \underline{2} ; \ 3) \rightarrow (\underline{1}; \ \underline{3}) \rightarrow 2 $
Quá trình xây dựng hoàn tất để có $1$ số $2$ còn tồn tại trên bảng sau đúng $22$ bước, nên bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Lưu ý: Với trình độ THCS, nếu chưa được học cách tính tổng: $S_0$ thì có thể chứng minh $S_0$ là số chẵn bằng cách viết:
$ S_0 = (2 + 4+ 6+ 8 + 10+ 12+ 14+ 16+ 18+ 20+ 22) + (1+3) + (5+7) + (9+11) + (13+15) + (17+19) + (21+23)$, dễ thấy $S_0$ phải là số chẵn do các tổng con trong mỗi ngoặc đơn đều là số chẵn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 30-04-2023 - 11:20
