Cho hàm $f$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+1)+xf(x^2)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$$
Viết phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm $f$ tại $x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 30-04-2023 - 18:16
Lời giải perfectstrong, 30-04-2023 - 22:12
Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$
Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??
Đề bài đúng là quy về tìm $f(1)$ và $f'(1)$. Tuy nhiên, có thể tìm được hai giá trị này một cách đơn giản mà không cần giải ra $f$ hoàn toàn.
\begin{equation}\label{eq_func} f\left( {x + 1} \right) + xf\left( {{x^2}} \right) = {x^2} \end{equation}
Thế $x = 0$ vào \eqref{eq_func}, ta có $\boxed{f(1) = 0}$.
Thế $x = -1$ vào \eqref{eq_func}, ta có $f(0) - f(1) = 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
Lấy đạo hàm hai vế của \eqref{eq_func}, ta có
\[f'\left( {x + 1} \right) + f\left( {{x^2}} \right) + 2{x^2}f'\left( {{x^2}} \right) = 2x\]
Thế $x = 0$, ta có $f'\left( 1 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \boxed{f'\left( 1 \right) = - 1}$
Đi đến bài viết »Cho hàm $f$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+1)+xf(x^2)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$$
Viết phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm $f$ tại $x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 30-04-2023 - 18:16
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$
Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$
Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$
Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$
Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$
Thay lại ta thấy thỏa mãn
Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*
Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$
Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$
Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$
Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$
Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$
Thay lại ta thấy thỏa mãn
Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*
Còn pháp tuyến nữa.....
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$
Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$
Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$
Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$
Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$
$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$
Thay lại ta thấy thỏa mãn
Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*
Đề yêu cầu tìm hàm số, chứ không phải đa thức nhé bạn.
Đề yêu cầu tìm hàm số, chứ không phải đa thức nhé bạn.
Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$
Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??
Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$
Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??
Đề bài đúng là quy về tìm $f(1)$ và $f'(1)$. Tuy nhiên, có thể tìm được hai giá trị này một cách đơn giản mà không cần giải ra $f$ hoàn toàn.
\begin{equation}\label{eq_func} f\left( {x + 1} \right) + xf\left( {{x^2}} \right) = {x^2} \end{equation}
Thế $x = 0$ vào \eqref{eq_func}, ta có $\boxed{f(1) = 0}$.
Thế $x = -1$ vào \eqref{eq_func}, ta có $f(0) - f(1) = 1 \Rightarrow f(0) = 1$.
Lấy đạo hàm hai vế của \eqref{eq_func}, ta có
\[f'\left( {x + 1} \right) + f\left( {{x^2}} \right) + 2{x^2}f'\left( {{x^2}} \right) = 2x\]
Thế $x = 0$, ta có $f'\left( 1 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \boxed{f'\left( 1 \right) = - 1}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh