Chủ đề này có 12 trả lời

[vuvotinhkho]

Cho ba số thực $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ và biểu thức $T=\sqrt{x^{2}+yz}+\sqrt{y^{2}+zx}+\sqrt{z^{2}+yx}$.

Tìm GTLN của biểu thức $T$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-06-2023 - 22:00

[huytran08]

Bài khó thật,mần mãi mới ra:

  Không mất tính tổng quát giả sử $z=$max{$x,y,z$} 

+Nếu $z=3$ thì $x=y=0$ suy ra $T=3$

+Nếu $z<3$

Theo $AM-GM$ ta có:$ \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x^{2}+yz}{x+y}+x+y \right )=\frac{2x^{2}+y^{2}+2xy+yz}{2(x+y)}$

                                     

                                     $\sqrt{y^{2}+xz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{y^{2}+xz}{x+y}+x+y \right )=\frac{x^{2}+2y^{2}+2xy+xz}{2(x+y)}$

 

Mặt khác:$ \sqrt{z^{2}+xy}=\sqrt{\left ( z+\frac{xy}{x+y} \right )^{2}-\left ( \frac{xy}{x+y} \right )^{2}-\frac{xy(2z-x-y)}{x+y}}\leq z+\frac{xy}{x+y}=\frac{2(xy+yz+xz)}{2(x+y)}$

 

Cộng lại ta có:$ T=\sum \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{3x^{2}+3y^{2}+6xy+3yz+3xz}{2(x+y)}=\frac{3(x+y+z)}{2}=\frac{9}{2}$

  Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2},z=0$ và các hoán vị

  P/s:Bài này có tìm được Min không nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 10-06-2023 - 20:52

[William Nguyen]

Bài khó thật,mần mãi mới ra:

  Không mất tính tổng quát giả sử $z=$max{$x,y,z$}

  Theo $AM-GM$ ta có:$ \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x^{2}+yz}{x+y}+x+y \right )=\frac{2x^{2}+y^{2}+2xy+yz}{2(x+y)}$

                                     

                                     $\sqrt{y^{2}+xz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{y^{2}+xz}{x+y}+x+y \right )=\frac{x^{2}+2y^{2}+2xy+xz}{2(x+y)}$

 

Mặt khác:$ \sqrt{z^{2}+xy}=\sqrt{\left ( z+\frac{xy}{x+y} \right )^{2}-\left ( \frac{xy}{x+y} \right )^{2}-\frac{xy(2z-x-y)}{x+y}}\leq z+\frac{xy}{x+y}=\frac{2(xy+yz+xz)}{2(x+y)}$

 

Cộng lại ta có:$ T=\sum \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{3x^{2}+3y^{2}+6xy+3yz+3xz}{2(x+y)}=\frac{3(x+y+z)}{2}=\frac{9}{2}$

  Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2},z=0$ và các hoán vị

mình nghĩ phải xét thêm trường hợp này:

$z=$max{$x,y,z$}.

khi $z=3$ thì $x=y=0$ (đề cho 3 số thực không âm) và có $T=3<\frac{9}{2}$.

Vì khi đó $x+y=0$ nên không đưa xuống mẫu được.

[vuvotinhkho]

mình nghĩ phải xét thêm trường hợp này:
$z=$max{$x,y,z$}.
khi $z=3$ thì $x=y=0$ (đề cho 3 số thực không âm) và có $T=3<\frac{9}{2}$.
Vì khi đó $x+y=0$ nên không đưa xuống mẫu được.

B có cách nào khác k

[William Nguyen]

B có cách nào khác k

 

mình không bạn ạ, với mấy bài hoán vị vòng như này dùng tính bình đẳng của các biến để làm là hợp lý, nhưng cũng khó đấy.

[huytran08]

B có cách nào khác k

Còn 1 cách nha bạn:

Hình gửi kèm

• 

[stray]

Bài khó thật,mần mãi mới ra:

  Không mất tính tổng quát giả sử $z=$max{$x,y,z$} 

+Nếu $z=3$ thì $x=y=0$ suy ra $T=3$

+Nếu $z<3$

Theo $AM-GM$ ta có:$ \sqrt{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{x^{2}+yz}{x+y}+x+y \right )=\frac{2x^{2}+y^{2}+2xy+yz}{2(x+y)}$

                                     

                                     $\sqrt{y^{2}+xz}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{y^{2}+xz}{x+y}+x+y \right )=\frac{x^{2}+2y^{2}+2xy+xz}{2(x+y)}$

 

cơ mà đoạn này với x = y = 3/2  và z = 0 thì dấu = có xảy ra đâu 

bqt cho em hỏi tại sao khi gõ latex thì em không đăng bài được ạ

[huytran08]

cơ mà đoạn này với x = y = 3/2  và z = 0 thì dấu = có xảy ra đâu 

bqt cho em hỏi tại sao khi gõ latex thì em không đăng bài được ạ

À đấy là mình ghi dấu "=" bất kì nên thế

Khi dùng $LaTeX$ thì bạn phải kẹp công thức toán trong dấu $ .Ví dụ x^{2}+y^{2}=5 khi kẹp thành $x^{2}+y^{2}=5$

[stray]

Em làm thế này không biết được không?

$\sqrt{x^2 + yz}\leq x+\sqrt{yz}$

     Dấu "=" <=> $x^2 = 0$

     hoặc             $yz = 0$

Tương tự với $\sqrt{y^2 + zx}$, $\sqrt{z^2 + xy}$

Phần còn lại đơn giản rồi

Max $T =\frac{9}{2}$ <=> $x=y=\frac{3}{2}$, $z=0$ và các hoán vị

 

 

Em 2k9 nên kém lắm

[William Nguyen]

Phần còn lại không đơn giản đâu bạn.

Theo cách làm này thì $\sqrt{x^2+yz}+\sqrt{y^2+zx}+\sqrt{z^2+xy} \leq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số $x,y,z$ bằng 0.

Với $x+y+z=3$ thì $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} = 3+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq 3+ x+y+z =6$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Như vậy ta kết luận $T<6$ và không tìm được GTLN.

Còn rõ ràng ta không thể chứng minh $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq \frac{9}{2}$.

[stray]

Phần còn lại không đơn giản đâu bạn.

Theo cách làm này thì $\sqrt{x^2+yz}+\sqrt{y^2+zx}+\sqrt{z^2+xy} \leq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số $x,y,z$ bằng 0.

Với $x+y+z=3$ thì $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} = 3+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq 3+ x+y+z =6$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Như vậy ta kết luận $T<6$ và không tìm được GTLN.

Còn rõ ràng ta không thể chứng minh $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq \frac{9}{2}$.

e làm thế này: 

dấu "=" <=> $x=y=\frac{3}{2}$, $z=0$ 

           hoặc $x=y=0$, $z=3$

rồi xét...

[William Nguyen]

e làm thế này: 

dấu "=" <=> $x=y=\frac{3}{2}$, $z=0$ 

           hoặc $x=y=0$, $z=3$

rồi xét...

Mình hiểu rồi, bạn có $f(x,y,z) \leq g(x,y,z)$, dấu "=" xảy ra khi ... rồi thay số vào $g(x,y,z)$ và kết luận GTLN, nhưng cách làm như vậy là không đúng nhé.

Ví dụ cách làm đúng là:

   $f(x,y,z) \leq g(x,y,z)$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (1)$

   $g(x,y,z) \leq M$ với $M$ là một số thực, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (2)$

$\Rightarrow f(x,y,z) \leq M$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1)\\ (2) \end{matrix}\right.$

Nếu hệ có nghiệm thì kết luận $max f(x,y,z) = M$ tại nghiệm của hệ.

[vuvotinhkho]

Phần còn lại không đơn giản đâu bạn.
Theo cách làm này thì $\sqrt{x^2+yz}+\sqrt{y^2+zx}+\sqrt{z^2+xy} \leq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ một trong 3 số $x,y,z$ bằng 0.

Với $x+y+z=3$ thì $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} = 3+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq 3+ x+y+z =6$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Như vậy ta kết luận $T<6$ và không tìm được GTLN.
Còn rõ ràng ta không thể chứng minh $x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq \frac{9}{2}$.

Cái này x=y=0, z=3 là k đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuvotinhkho: 12-06-2023 - 11:37