Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm nghiệm $x^2-5y^2=1$ thoả $y\le 1292$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm $(x,y)$ của phương trình
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$

#2
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm $(x,y)$ của phương trình
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$

Em mong lời giải của em sẽ đúng. Nếu có sai sót mong thầy sửa giúp ạ :D

Dễ thấy: $(x;y)=(9;4)$ là một nghiệm của phương trình.

Giả sử: $(x_n;y_n)$ là một nghiệm của phương trình.

$\rightarrow x_n^2-5y_n^2=1$

Giả sử phương trình tồn tại một nghiệm khác thỏa mãn tính chất: $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_n+by_n & & \\ y_{n+1}=cx_n+dy_n & & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta được: $(a^2-5c^2)x_n^2+(b^2-5d^2)y_n^2+2(ab-5cd)x_ny_n=1$

Đồng nhất thu được: $\left\{\begin{matrix} a=9 & & & \\ b=20 & & & \\ c=4 & & & \\ d=9 & & & \end{matrix}\right.$

Vậy với $(x_n;y_n)$ là nghiệm của phương trình thì $(9x_n+20y_n;4x_n+9y_n)$ cũng là một nghiệm của phương trình

Các bộ nghiệm lần lượt là: $(x;y)=$ {$(9;4);(161;72);(2889;1292)$}



#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Lời giải của @truongphat266 đúng rồi chỉ bỏ quên mất cặp $(1,0)$ thôi :D
Bài này còn có một ý khác đó là:
Chứng minh rằng $\left(\frac{\pm L(6m)}2,\frac{\pm F(6m)}2\right)$ với $m\ge 0$
là tất cả các nghiệm của phương trình $x^2-5y^2=1$
Trong đó $L(n)$ là dãy số Lucas còn $F(n)$ là dãy số Fibonacci




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh