Chủ đề này có 2 trả lời

[Camm]

Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB=2R (C khác A và B). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt tiếp tuyến tại C của (O) lần lượt tại D và E. Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại K

CMR: CK vuông góc với AB và xác định vị trí điểm C để diện tích tam giác ODE gấp đôi diện tích tam giác ABC

[huytran08]

 Ta có $AD=CD$,$BE=CE$ và $\widehat{DOE}= 90^{o}$

 Theo định lí Thales có $\frac{DK}{BK}=\frac{AD}{BE}=\frac{CD}{CE}\Rightarrow CK//BE\perp AB$

 Gọi $CK$ cắt $AB$ tại $M$

 Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.CM= \frac{1}{2}.2R.CM=R.CM$

       $S_{ODE}=\frac{1}{2}DE.OC=\frac{1}{2}R.DE$

       $S_{ODE}=2S_{ABC}$ 

       $\Rightarrow \frac{1}{2}R.DE=2R.CM\Rightarrow DE=4CM\Rightarrow CM=\frac{AD+BE}{4}$

  vị trí thì mình chịu rồi bạn tự làm nhé

[perfectstrong]

 Ta có $AD=CD$,$BE=CE$ và $\widehat{DOE}= 90^{o}$

 Theo định lí Thales có $\frac{DK}{BK}=\frac{AD}{BE}=\frac{CD}{CE}\Rightarrow CK//BE\perp AB$

 Gọi $CK$ cắt $AB$ tại $M$

 Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.CM= \frac{1}{2}.2R.CM=R.CM$

       $S_{ODE}=\frac{1}{2}DE.OC=\frac{1}{2}R.DE$

       $S_{ODE}=2S_{ABC}$ 

       $\Rightarrow \frac{1}{2}R.DE=2R.CM\Rightarrow DE=4CM\Rightarrow CM=\frac{AD+BE}{4}$

  vị trí thì mình chịu rồi bạn tự làm nhé

Lấy $F$ là trung điểm $DE$ thì dễ thấy $OF \perp AB$ và $OF \parallel CM$.

Nếu $DE \parallel AB$ thì dễ thấy không thỏa đề.

Xét trường hợp $DE$ cắt $AB$ tại $G$.

$DE = 4CM  = 2FO \Rightarrow FO = 2CM$.

Lại có theo định lý Thales cho $CM \parallel FO$ : $\frac{CM}{FO} = \frac{CG}{FG} \Rightarrow FG=2CG \Rightarrow  C$ là trung điểm $FG$.

Mặt khác $OC \perp FG \Rightarrow \Delta FOG$ là tam giác vuông cân tại $O$, nên $\angle COG = 45^o$.

Vậy để $S_{ODE}=2S_{ABC}$ thì $C$ nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho $\angle CAO = 45^o$ hoặc $\angle CAB = 45^o$ (có 4 điểm như vậy).