Chủ đề này có 3 trả lời

[blackspider]

Cho A là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 200010000, tập A mất đi 99,99% các số bất kì, chứng minh rằng trong những số còn lại luôn có 3 số lập thành cấp số cộng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 02-05-2023 - 18:22

[poset]

Cho A là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 200010000, tập A mất đi 99,99% các số bất kì, chứng minh rằng trong những số còn lại luôn có 3 số lập thành cấp số cộng

Không biết bạn kiếm đâu ra bài này. Đầu tiên là $3$ số chắc khác nhau chứ không thì cái này hiển nhiên. Cái này liên quan định lý Roth về cấp số cộng, nôm na là một tập $S$ gồm một vài số nguyên dương không lớn hơn số $N$ nào đó không chứa $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng sẽ "rất nhỏ", cụ thể $lim_{N\to\infty}sup\frac{|S|}{N}=0$. Để chứng minh người ta thường sử dụng giải tích Forier hay những công cụ cao cấp khác hoặc sơ cấp nhưng rất lằng nhằng và khả năng cao không áp dụng được vào bài này. Đưa số liệu lớn kiểu này chả khác nào bảo mọi người hãy chứng minh định lý Roth đi.

Và hơn nữa, dùng cái trick quen thuộc này thì sẽ thấy đề bài sai. Đề bài có thể hiểu là với mỗi $20001$ số nguyên dương không lớn hơn $200010000$, luôn có $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng. Xét tổng cộng $2^{16}-1=65535>20001$ số gồm các số khi biểu diễn trong cơ số $3$ thì chỉ chứa số $0$ hoặc $1$ và không quá $17$ số. Các số này không vượt quá $3^{16}+3^{15}+...+3^2+3+1=64570081<200010000$ và dễ thấy không tồn tại $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng (để đễ hình dung hãy thử với cơ số $10$). Vậy đề sai.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 02-05-2023 - 20:17

[blackspider]

Không biết bạn kiếm đâu ra bài này. Đầu tiên là $3$ số chắc khác nhau chứ không thì cái này hiển nhiên. Cái này liên quan định lý Roth về cấp số cộng, nôm na là một tập $S$ gồm một vài số nguyên dương không lớn hơn số $N$ nào đó không chứa $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng sẽ "rất nhỏ", cụ thể $lim_{N\to\infty}sup\frac{|S|}{N}=0$. Để chứng minh người ta thường sử dụng giải tích Forier hay những công cụ cao cấp khác hoặc sơ cấp nhưng rất lằng nhằng và khả năng cao không áp dụng được vào bài này. Đưa số liệu lớn kiểu này chả khác nào bảo mọi người hãy chứng minh định lý Roth đi.

Và hơn nữa, dùng cái trick quen thuộc này thì sẽ thấy đề bài sai. Đề bài có thể hiểu là với mỗi $20001$ số nguyên dương không lớn hơn $200010000$, luôn có $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng. Xét tổng cộng $2^{16}-1=65535>20001$ số gồm các số khi biểu diễn trong cơ số $3$ thì chỉ chứa số $0$ hoặc $1$ và không quá $17$ số. Các số này không vượt quá $3^{16}+3^{15}+...+3^2+3+1=64570081<200010000$ và dễ thấy không tồn tại $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng (để đễ hình dung hãy thử với cơ số $10$). Vậy đề sai.

đồng tình với quan điểm của bạn
nhưng mình thấy đề bài này có người giải trên facebook như sau ( cụ thể là trên Page: Thế Giới Toán Học), bạn có thể đóng góp ý kiến giúp mình:

Còn 20001 số; có 20000 khoảng cách. Nếu không có bộ 3 nào lập cấp số cộng thì không có khoảng cách nào bằng nhau.

Gọi $c_1;c_2...;c_{20000}$ là các khoảng cách giữa các số còn lại.

$c_1+c_2+...+c_{20000} \ge 1+2+...+20000=200010000$, nếu vậy số lớn nhất còn lại >200010000, đó là điều vô lý.

Vậy phải có bộ ba lập nên cấp số cộng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-05-2023 - 22:21
LaTeX

[poset]

@blackspider
Nếu không có bộ 3 nào lập cấp số cộng thì không có khoảng cách nào bằng nhau: Không chắc nha, ví dụ $1,2,4,5$ là rõ nhất.