Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm a,b nguyên dương thỏa mãn $a^{4}+10a^{2}+2^{b}$ là 1 số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Tìm $a,b \in Z , a,b>0$ thỏa mãn $a^{4}+10a^{2}+2^{b}$ là 1 số chính phương



#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 73 Bài viết

Dạ bài này anh sưu tầm ở đâu vậy ạ anh



#3
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Bài ni 1 thằng bạn hỏi a mà a lúc đó a chưa làm đc nên đăng lên đây để thảo luận thôi



#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 664 Bài viết

Tìm $a,b \in Z , a,b>0$ thỏa mãn $a^{4}+10a^{2}+2^{b}$ là 1 số chính phương

Vì bài này để ở THCS nên mình sẽ nêu lại một số ý cần thiết liên quan tới số mũ đúng. Tài liệu tham khảo: Phạm Quang ToànAmir Hosein.

Mệnh đề

Với mỗi số nguyên dương $x$, kí hiệu $v_2(x)$ là số tự nhiên $k$ lớn nhất sao cho $2^k\mid x$ (ví dụ $v_2(12)=2$ và $v_2(15)=0$). Với $x,y$ là các số nguyên dương thì ta có

  1. $v_2(x^y)=y\cdot v_2(x)$, do vậy $v_2(x^2)$ luôn là số chẵn.
  2. $v_2(x+y)= \min\big(v_2(x),v_2(y)\big)$ nếu $v_2(x)\neq v_2(y)$.

 

Quay lại bài toán. Xét $b\ge 5$, nếu $a$ lẻ thì 

\[a^2\equiv 1\pmod{4}\implies a^4+10a^2+2^b\equiv 3\pmod{4}.\]

Điều này vô lí thì số chính phương khi chia cho $4$ chỉ dư $0$ hoặc $1$, do vậy $a$ chẵn. Nếu $b\ge 2v_2(a)+2$ thì theo Mệnh đề 2 ta có

\[v_2(a^4+10a^2+2^b)=v_2(10a^2)=2v_2(a)+1,\]

vô lí theo Mệnh đề 1. Vậy $b\le 2v_2(a)+1$, suy ra

\[a^4+10a^2+2^b\le a^4+12a^2<(a^2+6)^2.\]

Mặt khác $b\ge 5$ nên $a^4+10a^2+2^b>(a^2+5)^2$. Vậy $b\ge 5$ thì không tồn tại $a$, còn lại chỉ cần xét $b\in\{1,2,3,4\}$ thì đơn giản rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 18-10-2023 - 18:35

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh