Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Bao Khanh]

Giải phương trình $\sqrt{4-x}+\sqrt{10-3x}=\sqrt{(7-2x)(x+1)}+\sqrt{(7-2x)(3-x)}$

[HaiDangPham]

Phương trình ban đầu có nghĩa khi $(7-2x)(x+1)\geq 0$ và $(7-2x)(3-x) \geq 0$.

Nếu $7-2x<0$ khi đó $x+1\leq 0$ và $3-x \leq 0$, hay $x\leq -1$ và $x \geq 3$, vô lý.

Vậy ta phải có $7-2x\geq 0$. Từ đó $x+1 \geq 0, 3-x \geq 0$ hay $-1 \leq x \leq 3$. 

Dễ thấy khi đó ta cũng có $4-x\geq 0, 10-3x\geq 0$. 

Vậy điều kiện xác định của phương trình ban đầu là  $-1 \leq x \leq 3$.

 

Với điều kiện xác định trên ta có thể viết lại $\sqrt{(7-2x)(x+1)}=\sqrt{7-2x}.\sqrt{x+1}$ và $\sqrt{(7-2x)(3-x)}=\sqrt{7-2x}.\sqrt{3-x}$. 

Khi đó bình phương cả hai vế của phương trình ban đầu ta được 

$2(7-2x)+2\sqrt{(4-x)(10-3x)}=4(7-2x)+2(7-2x)\sqrt{(x+1)(3-x)}$

Chú ý rằng 

$4(7-2x)-\left[2(7-2x)+2\sqrt{(4-x)(10-3x)}\right]=(4-x)+(10-3x)-2\sqrt{(4-x)(10-3x)}=\left(\sqrt{4-x}-\sqrt{10-3x}\right)^2$ 

Do đó phương trình trên tương đương 

$\left(\sqrt{4-x}-\sqrt{10-3x}\right)^2+2(7-2x)\sqrt{(x+1)(3-x)}=0$ 

Vì $7-2x\geq 0$ nên $\sqrt{4-x}-\sqrt{10-3x}=0$ và $(7-2x)\sqrt{(x+1)(3-x)}=0$. 

Giải ra ta được $x=3$. 

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $x=3$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 24-06-2023 - 18:09