Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Bao Khanh]

Giải phương trình: $\sqrt{8-x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}=5$

[HaiDangPham]

Giải phương trình: $\sqrt{8-x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}=5$

Nhận xét với mọi $a, b$ ta có $|a+b|\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$. Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b$. 

 

Do đó

$$\left|\sqrt{8-x^2} +x \right| \leq \sqrt{2.(8-x^2+x^2)}=4$$

và 

$$\left|\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}} +\frac{1}{x} \right| \leq \sqrt{2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)}=1$$

Từ đó 

 $$\sqrt{8-x^2}+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x} \leq \left|\sqrt{8-x^2} +x \right|+\left|\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}} +\frac{1}{x} \right| \leq 5$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{8-x^2}=x$ và $\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x}$, tức là $x=2$. 

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $x=2$.